Uma pessoa viaja de Washington até Manila. (a) Descreva o vetor deslocamento. (b) Calcule o módulo do vetor deslocamento, sabendo que a latitude e longitude das duas cidades são 39^{\circ} \mathrm{N}, 77^{\circ} \mathrm{O} e 15^{\circ} \mathrm{Ne} 121^{\circ} \mathrm{L}, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede o vetor deslocamento de Washington até Manila e o módulo desse vetor. O conteúdo principal é trabalhar com coordenadas geocêntricas: converter latitude e longitude em coordenadas cartesianas, fazer a diferença entre os vetores posição e, por fim, calcular o comprimento desse vetor deslocamento usando a norma euclidiana.

Passo 2

Para cada cidade, o vetor posição relativo ao centro da Terra é
\vec r = R\bigl(\cos\varphi\cos\lambda\,\hat{\mathbf i} \;+\;\cos\varphi\sin\lambda\,\hat{\mathbf j}\;+\;\sin\varphi\,\hat{\mathbf k}\bigr)
com R=6370\) km, \(\varphi\) = latitude, \(\lambda\) = longitude (positiva a leste). Para Washington \(\phi_W=39^\circ\mathrm N\), \(\lambda_W=-77^\circ\): \[\begin{cases} x_W = 6370\cos39^\circ\cos(-77^\circ)\approx1101,\\\ y_W = 6370\cos39^\circ\sin(-77^\circ)\approx-4821,\\\ z_W = 6370\sin39^\circ\approx4007. \end{cases}
Para Manila \phi_M=15^\circ\], \(\lambda_M=121^\circ:
\begin{cases} x_M = 6370\cos15^\circ\cos121^\circ\approx-3170,\\\ y_M = 6370\cos15^\circ\sin121^\circ\approx5277,\\\ z_M = 6370\sin15^\circ\approx1648. \end{cases}

Passo 3

O vetor deslocamento é
\Delta\vec r = \vec r_M - \vec r_W = (-3170-1101)\,\hat{\mathbf i} \;+\;(5277 -(-4821))\,\hat{\mathbf j}\;+\;(1648-4007)\,\hat{\mathbf k}
ou seja
\Delta\vec r = -4271\,\hat{\mathbf i} \;+\;10098\,\hat{\mathbf j}\;-\;2359\,\hat{\mathbf k} \quad\text{(em km).}

Passo 4

O módulo do vetor deslocamento é
\lvert\Delta\vec r\rvert = \sqrt{(-4271)^2 + (10098)^2 + (-2359)^2} \approx 1{,}12\times10^4\\ \mathrm{km}.

Resposta

\displaystyle \Delta\vec r = -4271\,\hat{\mathbf i} + 10098\,\hat{\mathbf j} -2359\,\hat{\mathbf k} km \displaystyle |\Delta\vec r|\approx1{,}12\times10^4 km

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