Dê um exemplo de uma série
tal que
é convergente e
é divergente.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de série
tal que a série de quadrados
seja convergente, mas a série de valores absolutos
seja divergente. O conteúdo envolve testes de convergência de séries, em especial as séries do tipo
(p-séries) e o teste da comparação.
Passo 2
Lembrando da p-série: a série
converge se
e diverge se
. Vamos usar esse critério para escolher
.
Passo 3
Escolhemos
. Nesse caso a série de valores absolutos é
, que é a p-série com
e diverge.
Passo 4
Agora analisamos a série de quadrados:
. Aqui temos uma p-série com
, logo ela converge.
Resposta
Um exemplo é tomar
. Assim
converge e
diverge.