Dê um exemplo de uma série sumn=1^+infty an tal que sumn=1^+infty an^2 é convergente e sumn=1^+infty|an| é divergente.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de série sumn=1^inftyan tal que a série de quadrados sumn=1^inftyan^2 seja convergente, mas a série de valores absolutos sumn=1^infty|an| seja divergente. O conteúdo envolve testes de convergência de séries, em especial as séries do tipo p (p-séries) e o teste da comparação.

Passo 2

Lembrando da p-série: a série sumn=1^infty1n^p converge se p>1 e diverge se p<=1. Vamos usar esse critério para escolher an.

Passo 3

Escolhemos an=1n. Nesse caso a série de valores absolutos é sumn=1^infty|an|=sumn=1^infty1n, que é a p-série com p=1 e diverge.

Passo 4

Agora analisamos a série de quadrados: sumn=1^inftyan^2=sumn=1^infty1n^2. Aqui temos uma p-série com p=2>1, logo ela converge.

Resposta

Um exemplo é tomar an=tfrac1n. Assim sumn=1^inftyan^2=sumn=1^inftytfrac1n^2 converge e sumn=1^infty|an|=sumn=1^inftytfrac1n diverge.

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