Tensores de ordem 2: fluidos II. (a) Seria correto considerar Pix z, Piy z e Piz z como componentes de um vetor no espaço tridimensional? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se as componentes Πₓz, Π_yz e Π_z z de um tensor de segunda ordem podem ser tratadas como as três componentes de um vetor no espaço 3D.
Conteúdo: tensores de ordem 2 e suas regras de transformação (comparadas às de um vetor).
O que vamos precisar:
  1. A lei de transformação de um vetor sob rotação.
  2. A lei de transformação de um tensor de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, lembra do que é um vetor em 3D:
  • Suas componentes V_i (i = x,y,z) mudam de base (ou sob rotação) segundo V'i = Ri j,Vj
    em que R é a matriz de rotação.
    Em palavras: cada componente do vetor na nova base é só uma combinação linear das componentes originais, só aparece um R.

Passo 3

Agora, o que rola com um tensor de 2ª ordem Π?
  • Suas componentes Π_{ij} mudam assim: Pi'ij = Ri p;Rj q;Pip q,
    Ou seja, tem um R para cada índice. Isso faz com que cada Π’{ij} misture várias Π{pq}, não só as que têm p=i ou q=j.

Passo 4

Vamos olhar só para a “coluna z” do tensor, isto é, os elementos Π_{iz} com i = x,y,z (que você quer ver como “vetor”).
Segundo a lei do tensor:
Pi'i z = Ri p;Rz q;Pip q ;=;Ri pl(Rz x,Pip x + Rz y,Pip y + Rz z,Pip zr)
Compare com o caso vetorial: para um vetor W com componentes W_p, teríamos
W'i = Ri p,Wp,
Note que em Π’{iz} há esse termo extra antes de multiplicar por . Ou seja, Π{ix}, Π_{iy} e Π_{iz} se misturam entre si na rotação: não seguem a regra simples de um vetor.

Resposta

Não, não dá para tratar Πₓz, Π_yz e Π_z z como componentes de um vetor em 3D, porque elas não obedecem à lei de transformação vetorial ; elas são parte de um tensor de segunda ordem e mudam de base com duas matrizes de rotação.

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