Vetor é um tensor de ordem um. Analogamente ao problema anterior, um vetor pode ser visto como um tensor de ordem 1. As componentes de um vetor não permanecem invariantes por uma transformação arbitrária de um sistema de coordenadas a outro. Ao contrário, vetores podem ser caracterizados algebricamente por terem componentes que obedecem uma regra de transformação específica. (b) Considere uma partícula de massa m se movendo apenas no plano descrito pelos sistemas de coordenadas do item anterior. Mostre que o momento angular L=r times p se transforma como um vetor.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que o momentum angular
L=rtimesp
se comporta como um vetor (ou seja, sob mudança de base ele obedece
).
Conteúdo: transformações de vetores (tensores de ordem 1), produto vetorial e símbolo de Levi-Civita.
O que precisamos:
  1. Expressar em componentes usando .
  2. Saber como e mudam de base (matriz ).
  3. Usar a identidade de transformação do Levi-Civita.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o momento angular em componentes:
Li ;=; (rtimesp)i ;=;varepsiloni j k,rj,pk,
onde é o símbolo totalmente antissimétrico (Levi-Civita), e são as componentes de e .

Passo 3

Sob uma transformação linear de bases (por exemplo uma rotação), as componentes mudam assim:
r'j = aj m,rm , p'k = ak n,pn,
onde a matriz é ortonormal (para rotações) e satisfaz e .

Passo 4

Agora calculamos a componente transformada de L'i = varepsiloni j k,r'j,p'k = varepsiloni j k,(aj mrm),(ak npn) = l(varepsiloni j k,aj m,ak nr),rm,pn :
varepsiloni j k,aj m,ak n = (det A),ai ell,varepsilonell m n ;=; ai ell,varepsilonell m n
Usamos a identidade do Levi-Civita sob transformação ortonormal:
L'i = ai ell,varepsilonell m n,rm,pn = ai ell,Lell
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Resposta

Mostramos que
L'i = ai ell,Lell,
ou seja, transforma como um vetor de ordem 1.

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