(UF-PR) Os pianos têm, em geral, uma extensão de sete oitavas. Sabendo-se que o lá padrão (lá { }_{3} ) tem uma freqüência de 440 Hz e que há quatro oitavas abaixo e três acima desse tom, pode-se concluir que as frequiências correspondentes às notas lá extremas valem:
a) 15,7 \mathrm{~Hz} e 9240 Hz .
b) 27,5 \mathrm{~Hz} e 3520 Hz .
c) 16 Hz e 16000 Hz .
d) 110,0 \mathrm{~Hz} e 1320 Hz .
e) -1320 Hz e 1760 Hz .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • A nota lá padrão tem frequência 440\\ \mathrm{Hz}.
  • Existem 4 oitavas abaixo desse lá e 3 oitavas acima dele (total de sete oitavas).
    O enunciado pede: calcular as frequências dos dois lá extremos (o mais grave e o mais agudo).

Passo 2

Conceito essencial (explicado passo a passo): subir uma oitava significa dobrar a frequência; descer uma oitava significa dividir a frequência por 2.
  • Se f_0 é a frequência de referência e n é o número de oitavas acima ( n>0) ou abaixo ( n<0), a fórmula geral é
f = f_0 \, 2^{n},
onde f é a frequência desejada, f_0 é a frequência conhecida ( 440\\ \mathrm{Hz} aqui) e n é inteiro (positivo para subir, negativo para descer).
Vou usar essa fórmula e, para ficar mais palpável, também mostrarei o cálculo por dobrar/halfar passo a passo.

Passo 3

Cálculo da frequência do lá mais grave (quatro oitavas abaixo):
  • Aqui f_0 = 440\\ \mathrm{Hz} e n=-4. Pela fórmula,
f_{\text{grave}} = 440 \cdot 2^{-4} = 440 \cdot \frac{1}{16}.
  • Fazendo a divisão por etapas (sem calculadora): 440/2=220, 220/2=110, 110/2=55, 55/2=27{,}5.
    Portanto
f_{\text{grave}} = 27{,}5\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Cálculo da frequência do lá mais agudo (três oitavas acima):
  • Aqui f_0 = 440\\ \mathrm{Hz} e n=+3. Pela fórmula,
f_{\text{agudo}} = 440 \cdot 2^{3} = 440 \cdot 8.
  • Fazendo por etapas (dobrando): 440\to880\to1760\to3520.
    Portanto
f_{\text{agudo}} = 3520\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Comparação com as alternativas fornecidas:
  • A alternativa (b) dá 27{,}5\\ \mathrm{Hz} e 3520\\ \mathrm{Hz}, que coincidem exatamente com os valores calculados.
  • As outras alternativas não batem com os cálculos realizados.

Passo 6

Dica rápida para a prova: sempre que a questão falar em “tantas oitavas acima/abaixo”, pense imediatamente em multiplicar por 2^{n} (ou dividir por 2^{|n|}). Fazer as divisões/dobras passo a passo evita erros com potências grandes.

Resposta

b) 27{,}5\\ \mathrm{Hz} e 3520\\ \mathrm{Hz}

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