Um corpo percorre uma trajetória circular de raio 8 m com velocidade de módulo constante v1=12 m / s no sentido horário. Um segundo corpo, partindo do mesmo ponto inicial percorre a mesma trajetória com velocidade de módulo constante v2=8 m / s no sentido anti-horário. Determine as velocidades angulares dos dois corpos e o número de vezes que eles se cruzam no primeiro minuto.

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos dois corpos fazendo movimento circular de raio m. O primeiro vai a m/s no sentido horário e o segundo a m/s no sentido anti-horário.
Conteúdo: movimento circular uniforme e velocidade angular ( ).
Vamos precisar da relação pra achar e , e depois usar movimento relativo angular pra ver quantas vezes eles se cruzam no intervalo de 60 s.

Passo 2

Primeiro a gente calcula as velocidades angulares com a fórmula
v = omega R Longrightarrow omega = vR
Para o corpo 1 (sentido horário, mas o módulo é positivo):
omega1 = v1R = 128 = 1,5 rad/s
Para o corpo 2 (sentido anti-horário):
omega2 = v2R = 88 = 1,0 rad/s

Passo 3

Agora precisamos descobrir quando eles se encontram.
  • A posição angular do corpo 1, partindo de zero, é theta2 - theta1 = 2pi m, m=1,2,3,dots (negativa por ser horário).
  • A do corpo 2 é omega2 t - l(-omega1 tr) = (omega1 + omega2)t = 2pi m .
    Eles se cruzam quando a diferença entre elas for um múltiplo de tm = 2pi,momega1 + omega2 = 2pi,m1,5 + 1,0 = 2pi,m2,5 = 0,8pi,m s :
Substituindo:
Logo o tempo do -ésimo encontro é

Passo 4

Basta achar quantos 0,8pi,m <= 60 Longrightarrow m <= 600,8pi = 602,513 approx 23,87 cabem até s:
Como é inteiro, o maior possível é 23.

Resposta

Velocidades angulares:
(horário) e
(anti-horário).
Eles se cruzam 23 vezes no primeiro minuto.

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