Um pintor cobra R por por para pintar as 4 paredes e o teto de uma sala. Se as medidas do teto são para pintar as 4 paredes e o teto de uma sala Se as medidas do teto são e e e altura 3 m , com um erro de até e a em todas as dimensões. Aproxime o erro, usando a diferencial, na estimativa do custo do trabalho, a partir dessas medidas.

Passo 1

O problema é calcular, por diferenciais, o erro máximo na estimativa do custo de pintar as 4 paredes e o teto, sabendo que o pintor cobra R$ 12/m², as dimensões são L=12 m, W=15 m, H=3 m e cada uma tem erro até dL=dW=dH=0,05 m.

Passo 2

A área total a pintar é a soma da área do teto e das paredes laterais. Chamando A a área total temos
A = Lcdot W ;(+;2H(L+W))
O custo é C=12·A.

Passo 3

Para achar o erro no custo usamos a diferencial. Primeiro escrevemos
dC = 12,dA
e
dA = partial Apartial L,dL + partial Apartial W,dW + partial Apartial H,dH

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de A:
partial Apartial L = W + 2H,
partial Apartial W = L + 2H,
partial Apartial H = 2(L+W)

Passo 5

Agora substituímos L=12, W=15, H=3 e dL=dW=dH=0,05:
W+2H = 15 + 2cdot3 = 21,
L+2H =12 + 2cdot3 = 18,
2(L+W) = 2(12+15) = 54
Então
dA = 21cdot0,05 + 18cdot0,05 +54cdot0,05 = (21+18+54)times0,05 =93times0,05 =4,65,m^2
Portanto
dC = 12times4,65 = 55,80

Resposta

O erro aproximado no custo é de R$ 55,80.

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