Uma pintura abstrata historicamente importante foi comprada em 1925 por 2000 dólares e seu valor vem dobrando a cada dez anos, desde a sua compra. Se y for o valor da pintura t anos após a sua compra, determine:
O ano em que o valor da pintura ultrapassará 1 milhão de dólares.

Passo 1

Nesse problema, uma pintura foi comprada em 1925 por 2000 e dobra de valor a cada 10 anos. O conteúdo envolvido é função exponencial e logaritmo. Vamos modelar o valor y em função do tempo t (anos após 1925) e depois determinar quando y ultrapassa 1.000.000 dólares.

Passo 2

Escrevemos o modelo exponencial de valorização:
y = 2000 cdot 2^t10
Aqui, cada aumento de 10 anos corresponde a um fator 2 de multiplicação.

Passo 3

Para encontrar quando o valor ultrapassa 1.000.000, impomos:
2000 cdot 2^t10 > 10^6
Dividindo ambos os lados por 2000, obtemos
2^t10 > 10^62000 = 500

Passo 4

Tomamos o logaritmo natural nos dois lados para isolar t:
t10 ln 2 > ln 500
Logo,
t > 10 cdot ln 500ln 2 approx 10 cdot 8,966 = 89,66

Passo 5

Como t é o número de anos após 1925 e queremos o primeiro ano inteiro em que ultrapassa 1.000.000, arredondamos para cima: t = 90. Assim, o ano será
1925 + 90 = 2015

Resposta

2015

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