Uma pintura abstrata historicamente importante foi comprada em 1925 por 2000 dólares e seu valor vem dobrando a cada dez anos, desde a sua compra. Se
for o valor da pintura
anos após a sua compra, determine:
O ano em que o valor da pintura ultrapassará 1 milhão de dólares.
O ano em que o valor da pintura ultrapassará 1 milhão de dólares.
Passo 1
Nesse problema, uma pintura foi comprada em 1925 por
e dobra de valor a cada
anos. O conteúdo envolvido é função exponencial e logaritmo. Vamos modelar o valor
em função do tempo
(anos após 1925) e depois determinar quando
ultrapassa
dólares.
Passo 2
Escrevemos o modelo exponencial de valorização:
Aqui, cada aumento de
anos corresponde a um fator
de multiplicação.
Passo 3
Para encontrar quando o valor ultrapassa
, impomos:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos
Passo 4
Tomamos o logaritmo natural nos dois lados para isolar
:
Logo,
Passo 5
Como
é o número de anos após 1925 e queremos o primeiro ano inteiro em que ultrapassa
, arredondamos para cima:
. Assim, o ano será
Resposta
2015