Questão extra 3: Da lei de Gauss do magnetismo
, podemos escrever
, onde
é o potencial vetor magnético. Mostre que a relação entre o campo elétrico dependente do tempo
, o potencial escalar dependente do tempo
e o potencial vetor magnético
é dada por:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos a relação entre o campo elétrico dependente do tempo
, o potencial escalar
e o potencial vetor magnético
, sabendo que
.
O conteúdo que vamos usar é a lei de Faraday–Maxwell
e a propriedade de que se então
para algum escalar
.
O conteúdo que vamos usar é a lei de Faraday–Maxwell
e a propriedade de que se
Passo 2
Começamos aplicando a lei de Faraday–Maxwell:
Como
, podemos escrever
pois derivada temporal e operador
comutam.
Passo 3
Substituindo em Faraday, obtemos
Isto mostra que o campo
é irrotacional.
Passo 4
Como um campo
com
pode sempre ser escrito como
, definimos
Rearranjando, concluímos a relação desejada.