Questão extra 3: Da lei de Gauss do magnetismo \oint_{S} \vec{B} \cdot d \vec{A}=0, podemos escrever \vec{B}=\nabla \times \vec{A}, onde \vec{A}=\left(A_{x}, A_{y}, A_{z}\right) é o potencial vetor magnético. Mostre que a relação entre o campo elétrico dependente do tempo \vec{E}(\vec{r}, t), o potencial escalar dependente do tempo V(\vec{r}, t) e o potencial vetor magnético \vec{A}(\vec{r}, t) é dada por:
\vec{E}(\vec{r}, t)=-\nabla V(\vec{r}, t)-\frac{\partial \vec{A}(\vec{r}, t)}{\partial t}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a relação entre o campo elétrico dependente do tempo \vec{E}(\vec{r},t), o potencial escalar V(\vec{r},t) e o potencial vetor magnético \vec{A}(\vec{r},t), sabendo que
\displaystyle \vec{B} = \nabla \times \vec{A}.
O conteúdo que vamos usar é a lei de Faraday–Maxwell
\displaystyle \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
e a propriedade de que se \nabla \times \vec{F}=0 então \vec{F}=-\nabla V para algum escalar V.

Passo 2

Começamos aplicando a lei de Faraday–Maxwell:
\nabla \times \vec{E} \;=\; -\,\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}.
Como \vec{B}=\nabla\times\vec{A}, podemos escrever
\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} =\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times\vec{A}\bigr) =\nabla\times\frac{\partial \vec{A}}{\partial t},
pois derivada temporal e operador \nabla\times comutam.

Passo 3

Substituindo em Faraday, obtemos
\nabla \times \vec{E} = -\,\nabla\times\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} \quad\Longrightarrow\quad \nabla\times\Bigl(\vec{E}+\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}\Bigr)=\vec{0}.
Isto mostra que o campo \vec{E}+\tfrac{\partial \vec{A}}{\partial t} é irrotacional.

Passo 4

Como um campo \vec{F} com \nabla\times\vec{F}=0 pode sempre ser escrito como \vec{F}=-\nabla V, definimos
\vec{E}+\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} =-\nabla V.
Rearranjando, concluímos a relação desejada.

Resposta

\boxed{ \vec{E}(\vec{r},t) =-\,\nabla V(\vec{r},t) \;-\;\frac{\partial \vec{A}(\vec{r},t)}{\partial t} }.

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