1. Em uma pirâmide hexagonal regular de altura \sqrt{69} \mathrm{~cm}, cada aresta lateral mede 13 cm . Calcule a área lateral dessa pirâmide.

Passo 1

O enunciado descreve uma pirâmide regular com base hexagonal, altura interna \sqrt{69}\,\mathrm{cm} e arestas laterais de comprimento 13\,\mathrm{cm}. Para obter a área lateral, precisamos de dois ingredientes principais: o comprimento do lado da base (a) e a altura de cada face lateral (chamada de aresta inclinada ou apotema lateral), que vamos chamar de s.

Passo 2

Como a pirâmide é regular, o pé da altura \sqrt{69} é o centro do hexágono. A aresta lateral 13 é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são a altura da pirâmide e o raio da circunferência circunscrita à base (R). Logo,
R = \sqrt{13^2 - (\sqrt{69})^2} = \sqrt{169 - 69} = \sqrt{100} = 10.
Numa base hexagonal regular, o lado a é igual a esse raio, portanto
a = 10\,\mathrm{cm}.

Passo 3

Para achar a apótema do hexágono (distância do centro ao ponto médio de um lado), usamos
d = a \cos\bigl(30^\circ\bigr) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\,\mathrm{cm}.

Passo 4

A altura s de cada face lateral é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos \sqrt{69} (altura da pirâmide) e d=5\sqrt{3}. Assim,
s = \sqrt{\bigl(\sqrt{69}\bigr)^2 + \bigl(5\sqrt{3}\bigr)^2} = \sqrt{69 + 75} = \sqrt{144} = 12\,\mathrm{cm}.

Passo 5

Cada face lateral é um triângulo de base a=10 e altura s=12. A área de um triângulo é
A_{\text{tri}} = \frac{a\cdot s}{2} = \frac{10\cdot 12}{2} = 60\,\mathrm{cm}^2.
Como há 6 faces iguais,
A_{\text{lateral}} = 6 \times 60 = 360\,\mathrm{cm}^2.

Resposta

360\,\mathrm{cm}^2

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