Uma pirâmide hexagonal tem 12 cm de altura e tem aresta da base medindo \frac{10 \sqrt{3}}{3}. Calcule:
(a) a apótema da base;
(b) a apótema da pirâmide;
(c) a área da base;
(d) a aresta lateral;
(e) a área total;

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide regular com base hexagonal e fornece:
  • altura da pirâmide: 12 cm;
  • aresta da base (lado do hexágono): \displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{3} cm.
Pede-se calcular:
(a) a apótema da base (distância do centro ao lado do hexágono);
(b) a apótema da pirâmide (slant height — altura da face lateral, isto é, distância do ápice ao ponto médio de um lado da base);
(c) a área da base;
(d) a aresta lateral (comprimento do segmento do ápice até um vértice da base);
(e) a área total da pirâmide.

Passo 2

Apresentação e fórmula para a apótema da base.
Explicação didática: um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lado a (onde a é a aresta da base). A apótema do hexágono é exatamente a altura de um desses triângulos equiláteros medida do centro até o meio do lado. A altura h_{\triangle} de um triângulo equilátero de lado a é dada por
h_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,a.
Aqui a apótema da base (vou chamar de r_b) é igual a essa altura:
r_b=\frac{\sqrt{3}}{2}\,a.
Aplicando aos números: a=\displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{3}. Então
r_b=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3}.
Calcule passo a passo:
\frac{\sqrt{3}\cdot 10\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{10\cdot (\sqrt{3}\sqrt{3})}{6}=\frac{10\cdot 3}{6}=\frac{30}{6}=5.
Portanto a apótema da base é 5 cm.

Passo 3

Definição e cálculo da apótema da pirâmide (slant height).
Explicação didática: a apótema da pirâmide (slant height) é a altura da face lateral medida do ponto médio de um lado da base até o ápice. Se a pirâmide é regular, o ápice fica acima do centro da base e o segmento que liga ápice ao centro da base é perpendicular ao plano da base (essa é a altura dada, 12 cm). Assim, no triângulo retângulo formado por (ápice) — (centro da base) — (ponto médio do lado), os catetos são: a altura da pirâmide h=12 e a apótema da base r_b=5. A hipotenusa desse triângulo é a apótema da pirâmide (vou chamar de s). Pelo Teorema de Pitágoras:
s=\sqrt{h^2+r_b^2}.
Substituindo:
s=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.
Portanto a apótema da pirâmide é 13 cm.

Passo 4

Cálculo da área da base.
Explicação didática: a área de um polígono regular pode ser calculada por
\text{Área}=\frac{\text{perímetro}\times\text{apótema}}{2}.Áíó
No caso do hexágono regular, o perímetro é 6a e a apótema é r_b, logo
A_{\text{base}}=\frac{6a\cdot r_b}{2}=3a\,r_b.
Já conhecemos a=\displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{3} e r_b=5. Então
A_{\text{base}}=3\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3}\cdot 5.
Cancelando o 3:
A_{\text{base}}=10\sqrt{3}\cdot 5=50\sqrt{3}.
Portanto a área da base é \displaystyle 50\sqrt{3} cm ^2.

Passo 5

Cálculo da aresta lateral.
Explicação didática: a aresta lateral liga o ápice a um vértice da base. Em uma pirâmide regular, o vértice da base está à distância igual ao raio circunscrito do polígono regular (circumradius) em relação ao centro. Para um hexágono regular, o raio circunscrito R é igual ao lado a (isso porque cada triângulo central é equilátero, então o vértice do hexágono fica sobre o círculo de raio a). Logo R=a.
Formamos então um triângulo retângulo com catetos: a altura h=12 e a distância do centro ao vértice R=a. A hipotenusa é a aresta lateral L:
L=\sqrt{h^2+R^2}=\sqrt{h^2+a^2}.
Calculando a^2:
a^2=\left(\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)^2=\frac{100\cdot 3}{9}=\frac{300}{9}=\frac{100}{3}.
Logo
L=\sqrt{144+\frac{100}{3}}=\sqrt{\frac{432+100}{3}}=\sqrt{\frac{532}{3}}.
Para uma forma com radical simplificado, multiplicamos dentro da raiz por 3/3:
L=\frac{\sqrt{1596}}{3}.
Como 1596=4\cdot 399 temos
L=\frac{2\sqrt{399}}{3}.
Portanto a aresta lateral é \displaystyle \frac{2\sqrt{399}}{3} cm (aproximadamente 13{,}32 cm).

Passo 6

Cálculo da área total.
Explicação didática: a área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral. A área lateral é a soma das áreas das 6 faces triangulares congruentes. Cada face lateral é um triângulo de base a e altura igual à apótema da pirâmide s. A área de cada face é \frac{a\,s}{2}. Assim a área lateral total é
A_{\text{lateral}}=6\cdot\frac{a\,s}{2}=3a\,s.
Já sabemos a=\displaystyle\frac{10\sqrt{3}}{3} e s=13. Então
A_{\text{lateral}}=3\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3}\cdot 13=10\sqrt{3}\cdot 13=130\sqrt{3}.
Agora a área total:
A_{\text{total}}=A_{\text{base}}+A_{\text{lateral}}=50\sqrt{3}+130\sqrt{3}=180\sqrt{3}.
Portanto a área total é \displaystyle 180\sqrt{3} cm ^2.

Resposta

(a) 5 cm
(b) 13 cm
(c) \displaystyle 50\sqrt{3} cm ^2
(d) \displaystyle \frac{2\sqrt{399}}{3} cm
(e) \displaystyle 180\sqrt{3} cm ^2

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