Uma pirâmide hexagonal tem 12 cm de altura e tem aresta da base medindo
. Calcule:
(a) a apótema da base;
(b) a apótema da pirâmide;
(c) a área da base;
(d) a aresta lateral;
(e) a área total;
(a) a apótema da base;
(b) a apótema da pirâmide;
(c) a área da base;
(d) a aresta lateral;
(e) a área total;
Passo 1
O enunciado dá uma pirâmide regular com base hexagonal e fornece:
- altura da pirâmide:
cm; - aresta da base (lado do hexágono):
cm.
Pede-se calcular:
(a) a apótema da base (distância do centro ao lado do hexágono);
(b) a apótema da pirâmide (slant height — altura da face lateral, isto é, distância do ápice ao ponto médio de um lado da base);
(c) a área da base;
(d) a aresta lateral (comprimento do segmento do ápice até um vértice da base);
(e) a área total da pirâmide.
(a) a apótema da base (distância do centro ao lado do hexágono);
(b) a apótema da pirâmide (slant height — altura da face lateral, isto é, distância do ápice ao ponto médio de um lado da base);
(c) a área da base;
(d) a aresta lateral (comprimento do segmento do ápice até um vértice da base);
(e) a área total da pirâmide.
Passo 2
Apresentação e fórmula para a apótema da base.
Explicação didática: um hexágono regular pode ser dividido em
triângulos equiláteros de lado
(onde
é a aresta da base). A apótema do hexágono é exatamente a altura de um desses triângulos equiláteros medida do centro até o meio do lado. A altura
de um triângulo equilátero de lado
é dada por
Aqui a apótema da base (vou chamar de
) é igual a essa altura:
Aplicando aos números:
. Então
Calcule passo a passo:
Portanto a apótema da base é
cm.
Passo 3
Definição e cálculo da apótema da pirâmide (slant height).
Explicação didática: a apótema da pirâmide (slant height) é a altura da face lateral medida do ponto médio de um lado da base até o ápice. Se a pirâmide é regular, o ápice fica acima do centro da base e o segmento que liga ápice ao centro da base é perpendicular ao plano da base (essa é a altura dada,
cm). Assim, no triângulo retângulo formado por (ápice) — (centro da base) — (ponto médio do lado), os catetos são: a altura da pirâmide
e a apótema da base
. A hipotenusa desse triângulo é a apótema da pirâmide (vou chamar de
). Pelo Teorema de Pitágoras:
Substituindo:
Portanto a apótema da pirâmide é
cm.
Passo 4
Cálculo da área da base.
Explicação didática: a área de um polígono regular pode ser calculada por
No caso do hexágono regular, o perímetro é
e a apótema é
, logo
Já conhecemos
e
. Então
Cancelando o
:
Portanto a área da base é
cm
.
Passo 5
Cálculo da aresta lateral.
Explicação didática: a aresta lateral liga o ápice a um vértice da base. Em uma pirâmide regular, o vértice da base está à distância igual ao raio circunscrito do polígono regular (circumradius) em relação ao centro. Para um hexágono regular, o raio circunscrito
é igual ao lado
(isso porque cada triângulo central é equilátero, então o vértice do hexágono fica sobre o círculo de raio
). Logo
.
Formamos então um triângulo retângulo com catetos: a altura
e a distância do centro ao vértice
. A hipotenusa é a aresta lateral
:
Calculando
:
Logo
Para uma forma com radical simplificado, multiplicamos dentro da raiz por
:
Como
temos
Portanto a aresta lateral é
cm (aproximadamente
cm).
Passo 6
Cálculo da área total.
Explicação didática: a área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral. A área lateral é a soma das áreas das
faces triangulares congruentes. Cada face lateral é um triângulo de base
e altura igual à apótema da pirâmide
. A área de cada face é
. Assim a área lateral total é
Já sabemos
e
. Então
Agora a área total:
Portanto a área total é
cm
.
Resposta
(a)
cm
(b)
cm
(c)
cm
(d)
cm
(e)
cm