Calcule a área total de um tetraedro regular cujo volume é
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
- Dado: o volume do tetraedro regular é
. - Pedir: calcular a área total do tetraedro (ou seja, a soma das áreas das quatro faces).
- Informação implícita e relevante: por “tetraedro regular” entende-se que todas as arestas têm o mesmo comprimento — chame esse comprimento de
— e que as quatro faces são triângulos equiláteros congruentes (cada face tem lado ).
Passo 2
Vamos lembrar e justificar a fórmula da área de um triângulo equilátero de lado
.
- A área de um triângulo qualquer é
. - Num triângulo equilátero de lado
, a altura é obtida dividindo o triângulo em dois triângulos retângulos com catetos e a altura . Pelo teorema de Pitágoras,
- Então a área de um triângulo equilátero é
Passo 3
Como o tetraedro é regular, sua altura
(distância de um vértice ao plano da face oposta) pode ser encontrada usando pitágoras em 3D:
- No triângulo de base (a face oposta), o centro (baricentro) está à mesma distância de cada vértice; a distância do baricentro até um vértice é
- A aresta do tetraedro que liga o vértice ao vértice de base tem comprimento
. Aplicando Pitágoras no triângulo reto formado por , e a aresta ,
- Assim
portanto
Passo 4
Agora derivamos a fórmula do volume do tetraedro regular usando base (uma face) e altura:
- Volume de um prisma ou pirâmide é
. - Para o tetraedro regular, a base tem área
(Passo 2) e a altura é (Passo 3). Logo
- Simplificando os fatores com radicais:
porque
. Portanto uma forma útil da fórmula é
que pode ser reescrita como
(se preferir ver o denominador racionalizado).
Passo 5
Usamos o volume dado para encontrar
.
- Temos
e a fórmula . Igualando,
- Multiplicando ambos os lados por
para isolar ,
- Observando que
, obtemos
Passo 6
Calcule a área total do tetraedro a partir de
.
- Área de uma face:
. - Área total (quatro faces):
. - Substituindo
,