Calcule a área total de um tetraedro regular cujo volume é 144 \sqrt{2} m^{3}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
  • Dado: o volume do tetraedro regular é V = 144\sqrt{2}\\ \mathrm{m}^3.
  • Pedir: calcular a área total do tetraedro (ou seja, a soma das áreas das quatro faces).
  • Informação implícita e relevante: por “tetraedro regular” entende-se que todas as arestas têm o mesmo comprimento — chame esse comprimento de a — e que as quatro faces são triângulos equiláteros congruentes (cada face tem lado a).

Passo 2

Vamos lembrar e justificar a fórmula da área de um triângulo equilátero de lado a.
  • A área de um triângulo qualquer é \tfrac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura}.
  • Num triângulo equilátero de lado a, a altura é obtida dividindo o triângulo em dois triângulos retângulos com catetos \tfrac{a}{2} e a altura h_{\triangle}. Pelo teorema de Pitágoras,
h_{\triangle} = \sqrt{a^2 - \left(\tfrac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \tfrac{a^2}{4}} = \sqrt{\tfrac{3a^2}{4}} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,a.
  • Então a área de um triângulo equilátero é
\text{Área (uma face)} = \tfrac{1}{2}\cdot a \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,a = \tfrac{\sqrt{3}}{4}\,a^2.Á

Passo 3

Como o tetraedro é regular, sua altura h (distância de um vértice ao plano da face oposta) pode ser encontrada usando pitágoras em 3D:
  • No triângulo de base (a face oposta), o centro (baricentro) está à mesma distância de cada vértice; a distância do baricentro até um vértice é
r = \tfrac{2}{3}\cdot\text{(altura do triângulo equilátero)} = \tfrac{2}{3}\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,a = \tfrac{\sqrt{3}}{3}\,a.âá
  • A aresta do tetraedro que liga o vértice ao vértice de base tem comprimento a. Aplicando Pitágoras no triângulo reto formado por h, r e a aresta a,
h^2 + r^2 = a^2 \quad\Rightarrow\quad h^2 + \left(\tfrac{\sqrt{3}}{3}\,a\right)^2 = a^2.
  • Assim
h^2 = a^2 - \tfrac{3}{9}a^2 = a^2\left(1 - \tfrac{1}{3}\right) = \tfrac{2}{3}a^2,
portanto
h = a\sqrt{\tfrac{2}{3}}.

Passo 4

Agora derivamos a fórmula do volume do tetraedro regular usando base (uma face) e altura:
  • Volume de um prisma ou pirâmide é \tfrac{1}{3}\times\text{(área da base)}\times\text{altura}á.
  • Para o tetraedro regular, a base tem área \tfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 (Passo 2) e a altura é a\sqrt{\tfrac{2}{3}} (Passo 3). Logo
V = \tfrac{1}{3}\cdot \left(\tfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\right)\cdot \left(a\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right).
  • Simplificando os fatores com radicais:
V = a^3 \cdot \tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{\tfrac{2}{3}} = a^3 \cdot \tfrac{1}{12}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{\tfrac{2}{3}} = a^3 \cdot \tfrac{1}{12}\cdot \sqrt{2}
porque \sqrt{3}\cdot\sqrt{\tfrac{2}{3}}=\sqrt{2}. Portanto uma forma útil da fórmula é
V = \tfrac{\sqrt{2}}{12}\,a^3,
que pode ser reescrita como
V = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}
(se preferir ver o denominador racionalizado).

Passo 5

Usamos o volume dado para encontrar a.
  • Temos V = 144\sqrt{2}\\ \mathrm{m}^3 e a fórmula \displaystyle V = \tfrac{\sqrt{2}}{12}\,a^3. Igualando,
\tfrac{\sqrt{2}}{12}\,a^3 = 144\sqrt{2}.
  • Multiplicando ambos os lados por \tfrac{12}{\sqrt{2}} para isolar a^3,
a^3 = 144\sqrt{2}\cdot \tfrac{12}{\sqrt{2}} = 144\cdot 12 = 1728.
  • Observando que 1728 = 12^3, obtemos
a = \sqrt[3]{1728} = 12\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcule a área total do tetraedro a partir de a.
  • Área de uma face: \tfrac{\sqrt{3}}{4}a^2.
  • Área total (quatro faces): 4\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \sqrt{3}\,a^2.
  • Substituindo a=12\\ \mathrm{m},
\text{Área total} = \sqrt{3}\cdot (12)^2 = \sqrt{3}\cdot 144 = 144\sqrt{3}\\ \mathrm{m}^2.Á

Resposta

\,144\sqrt{3}\\ \mathrm{m}^2

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