Calcule a área da base e o volume de uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros, sendo
a soma das áreas desses triângulos.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a área da base e o volume de uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros. As informações dadas são:
- A soma das áreas das quatro faces laterais (quatro triângulos equiláteros) é
. - A base é quadrada e a pirâmide é regular (o vértice está sobre o centro da base).
Não se pede mais nada além dessas duas grandezas.
Passo 2
Primeiro vamos extrair a área de um único triângulo lateral. Como há quatro triângulos laterais idênticos e a soma das áreas é
, a área de cada triângulo lateral vale
Passo 3
Agora precisamos relacionar essa área com o lado do triângulo. Lembre a fórmula da área de um triângulo equilátero: se o lado é
, a altura do triângulo (a partir de uma vértice até o lado oposto) é obtida dividindo o triângulo em dois triângulos retângulos de catetos
e altura
. Pelo teorema de Pitágoras,
A área do triângulo equilátero é então
Essa é uma fórmula padrão, mas acabei de derivá-la para ficar claro de onde vem.
Passo 4
Igualamos a área encontrada para um triângulo à fórmula em função de
:
Cancelamos
dos dois lados e obtemos
Portanto
que é o comprimento de cada aresta da base (lado do quadrado) e também o lado de cada triângulo equilátero.
Passo 5
A área da base é a área do quadrado de lado
. Então
Passo 6
Para encontrar o volume precisamos da altura vertical da pirâmide,
. A altura da face lateral (a altura do triângulo equilátero) é a chamada escora ou geratriz (slant height) da pirâmide; calculamos ela por
Passo 7
Considere o triângulo retângulo formado por: o vértice da pirâmide, o centro da base e o ponto médio de um lado da base. Nesse triângulo retângulo a hipotenusa é
, um cateto é a altura vertical
da pirâmide e o outro cateto é a distância do centro da base até o ponto médio do lado, que vale
. Pelo teorema de Pitágoras,
Substituindo os valores:
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Passo 8
Agora usamos a fórmula do volume da pirâmide: o volume é um terço da área da base multiplicada pela altura:
Substituindo
e
,