Calcule a área da base e o volume de uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros, sendo 81 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} a soma das áreas desses triângulos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a área da base e o volume de uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros. As informações dadas são:
  • A soma das áreas das quatro faces laterais (quatro triângulos equiláteros) é 81\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2.
  • A base é quadrada e a pirâmide é regular (o vértice está sobre o centro da base).
    Não se pede mais nada além dessas duas grandezas.

Passo 2

Primeiro vamos extrair a área de um único triângulo lateral. Como há quatro triângulos laterais idênticos e a soma das áreas é 81\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2, a área de cada triângulo lateral vale
\text{área de um triângulo}=\frac{81\sqrt{3}}{4}\\ \mathrm{cm}^2.áâ

Passo 3

Agora precisamos relacionar essa área com o lado do triângulo. Lembre a fórmula da área de um triângulo equilátero: se o lado é a, a altura do triângulo (a partir de uma vértice até o lado oposto) é obtida dividindo o triângulo em dois triângulos retângulos de catetos a/2 e altura h_t. Pelo teorema de Pitágoras,
h_t=\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2=\sqrt{\frac{3}{4}a^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a.
A área do triângulo equilátero é então
\text{Área}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_t=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2.Á
Essa é uma fórmula padrão, mas acabei de derivá-la para ficar claro de onde vem.

Passo 4

Igualamos a área encontrada para um triângulo à fórmula em função de a:
\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{81\sqrt{3}}{4}.
Cancelamos \frac{\sqrt{3}}{4} dos dois lados e obtemos
a^2=81.
Portanto
a=9\\ \mathrm{cm},
que é o comprimento de cada aresta da base (lado do quadrado) e também o lado de cada triângulo equilátero.

Passo 5

A área da base é a área do quadrado de lado a. Então
\text{Área da base}=a^2=9^2=81\\ \mathrm{cm}^2.Á

Passo 6

Para encontrar o volume precisamos da altura vertical da pirâmide, h. A altura da face lateral (a altura do triângulo equilátero) é a chamada escora ou geratriz (slant height) da pirâmide; calculamos ela por
\ell=h_t=\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 9=\frac{9\sqrt{3}}{2}\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Considere o triângulo retângulo formado por: o vértice da pirâmide, o centro da base e o ponto médio de um lado da base. Nesse triângulo retângulo a hipotenusa é \ell, um cateto é a altura vertical h da pirâmide e o outro cateto é a distância do centro da base até o ponto médio do lado, que vale \dfrac{a}{2}. Pelo teorema de Pitágoras,
h=\sqrt{\ell^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}.
Substituindo os valores:
\ell^2=\left(\frac{9\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{81\cdot 3}{4}=\frac{243}{4},
\left(\frac{a}{2}\right)^2=\left(\frac{9}{2}\right)^2=\frac{81}{4}.
Logo
h=\sqrt{\frac{243}{4}-\frac{81}{4}}=\sqrt{\frac{162}{4}}=\sqrt{\frac{81}{2}}=\frac{9}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

Agora usamos a fórmula do volume da pirâmide: o volume é um terço da área da base multiplicada pela altura:
V=\frac{1}{3}\cdot (\text{área da base})\cdot h.á
Substituindo \text{área da base}=81\\ \mathrm{cm}^2á e h=\dfrac{9\sqrt{2}}{2}\\ \mathrm{cm},
V=\frac{1}{3}\cdot 81\cdot\frac{9\sqrt{2}}{2}=27\cdot\frac{9\sqrt{2}}{2}=\frac{243\sqrt{2}}{2}\\ \mathrm{cm}^3.

Resposta

\text{Área da base}=81\\ \mathrm{cm}^2Á\n \text{Volume}=\dfrac{243\sqrt{2}}{2}\\ \mathrm{cm}^3

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