De uma pirâmide regular de base quadrada sabe-se que a área da base é
e que a apótema da pirâmide mede 6 cm . Calcule:
(a) a aresta da base;
(b) a apótema da base;
(c) a altura da pirâmide;
(d) a aresta lateral;
(e) a área total;
(a) a aresta da base;
(b) a apótema da base;
(c) a altura da pirâmide;
(d) a aresta lateral;
(e) a área total;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades abaixo.
-
Dados fornecidos:
- A pirâmide é regular com base quadrada.
- A área da base vale
. - A apótema da pirâmide (ou seja, a altura inclinada de cada face lateral desde o ponto médio da aresta da base até o ápice) mede
.
-
O que o enunciado pede:
(a) a aresta da base;
(b) a apótema da base;
(c) a altura da pirâmide;
(d) a aresta lateral (aresta entre o ápice e um vértice da base);
(e) a área total da pirâmide.
Passo 2
Calcular a aresta da base a partir da área da base.
- Para um quadrado de lado
, a área da base é . - Temos
. Então
- Simplificando
: .
Portanto
.
Passo 3
Calcular a apótema da base (distância do centro do quadrado até o ponto médio de um lado).
- Num quadrado de lado
, o centro até o ponto médio de um lado é simplesmente metade do lado:
- Substituindo
:
Portanto a apótema da base vale
.
Passo 4
Calcular a altura da pirâmide usando o triângulo retângulo formado pela altura, pela apótema da base e pela apótema lateral (slant height).
- Conceito-chave: em uma pirâmide regular, a apótema lateral
(dada como ) é a hipotenusa de um triângulo retângulo cuja cateta vertical é a altura da pirâmide e cuja outra cateta é a apótema da base . Assim vale o Teorema de Pitágoras:
Aqui
e
(do Passo 3).
- Substituindo:
- Calcule
. Então
- Isolando
:
- Portanto
A altura da pirâmide é
.
Passo 5
Calcular a aresta lateral (distância do ápice a um vértice da base).
- Primeiro precisamos da distância do centro da base até um vértice (chamemos de
). Num quadrado de lado a distância do centro até um vértice é a metade da diagonal:
- Com
obtemos
Logo o centro ao vértice vale
.
- Agora a aresta lateral
é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por (altura) e :
- Substituindo
(do Passo 4) e :
- Assim
A aresta lateral vale
.
Passo 6
Calcular a área total da pirâmide (base + faces laterais).
- A área da base já é dada:
. - A área lateral total de uma pirâmide regular de base com perímetro
e apótema lateral é
- Para o quadrado, o perímetro é
. Logo
- Substituindo
e :
- Portanto a área total é
Se desejar aproximar numericamente,
, e a área total aproximada seria
, mas a forma exata é preferível.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)