De uma pirâmide regular de base quadrada sabe-se que a área da base é 32 c m^{2} e que a apótema da pirâmide mede 6 cm . Calcule:
(a) a aresta da base;
(b) a apótema da base;
(c) a altura da pirâmide;
(d) a aresta lateral;
(e) a área total;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades abaixo.
  • Dados fornecidos:
    • A pirâmide é regular com base quadrada.
    • A área da base vale \,32\\ \text{cm}^2.
    • A apótema da pirâmide (ou seja, a altura inclinada de cada face lateral desde o ponto médio da aresta da base até o ápice) mede \,6\\ \text{cm}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) a aresta da base;
    (b) a apótema da base;
    (c) a altura da pirâmide;
    (d) a aresta lateral (aresta entre o ápice e um vértice da base);
    (e) a área total da pirâmide.

Passo 2

Calcular a aresta da base a partir da área da base.
  • Para um quadrado de lado a, a área da base é \,a^{2}.
  • Temos \,a^{2}=32. Então
a=\sqrt{32}.
  • Simplificando \sqrt{32}: \sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}.
Portanto \,a=4\sqrt{2}\\ \text{cm}.

Passo 3

Calcular a apótema da base (distância do centro do quadrado até o ponto médio de um lado).
  • Num quadrado de lado a, o centro até o ponto médio de um lado é simplesmente metade do lado:
\text{apótema da base} = \frac{a}{2}.ó
  • Substituindo a=4\sqrt{2}:
\frac{a}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}.
Portanto a apótema da base vale \,2\sqrt{2}\\ \text{cm}.

Passo 4

Calcular a altura da pirâmide usando o triângulo retângulo formado pela altura, pela apótema da base e pela apótema lateral (slant height).
  • Conceito-chave: em uma pirâmide regular, a apótema lateral l (dada como \,6\\ \text{cm}) é a hipotenusa de um triângulo retângulo cuja cateta vertical é a altura h da pirâmide e cuja outra cateta é a apótema da base r. Assim vale o Teorema de Pitágoras:
l^{2}=h^{2}+r^{2}.
Aqui l=6 e r=2\sqrt{2} (do Passo 3).
  • Substituindo:
6^{2}=h^{2}+(2\sqrt{2})^{2}.
  • Calcule (2\sqrt{2})^{2}=4\cdot2=8. Então
36=h^{2}+8.
  • Isolando h^{2}:
h^{2}=36-8=28.
  • Portanto
h=\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot7}=2\sqrt{7}.
A altura da pirâmide é \,2\sqrt{7}\\ \text{cm}.

Passo 5

Calcular a aresta lateral (distância do ápice a um vértice da base).
  • Primeiro precisamos da distância do centro da base até um vértice (chamemos de R). Num quadrado de lado a a distância do centro até um vértice é a metade da diagonal:
R=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}.
  • Com a=4\sqrt{2} obtemos
R=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4.
Logo o centro ao vértice vale \,4\\ \text{cm}.
  • Agora a aresta lateral s é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por h (altura) e R:
s^{2}=h^{2}+R^{2}.
  • Substituindo h^{2}=28 (do Passo 4) e R^{2}=4^{2}=16:
s^{2}=28+16=44.
  • Assim
s=\sqrt{44}=\sqrt{4\cdot11}=2\sqrt{11}.
A aresta lateral vale \,2\sqrt{11}\\ \text{cm}.

Passo 6

Calcular a área total da pirâmide (base + faces laterais).
  • A área da base já é dada: \,32\\ \text{cm}^{2}.
  • A área lateral total de uma pirâmide regular de base com perímetro P e apótema lateral l é
\text{Área lateral}=\frac{P\cdot l}{2}.Á
  • Para o quadrado, o perímetro é P=4a. Logo
\text{Área lateral}=\frac{4a\cdot l}{2}=2a\,l.Á
  • Substituindo a=4\sqrt{2} e l=6:
\text{Área lateral}=2\cdot(4\sqrt{2})\cdot 6=48\sqrt{2}.Á
  • Portanto a área total é
\text{Área total}=\text{Área da base}+\text{Área lateral}=32+48\sqrt{2}\\ \text{cm}^{2}.ÁÁÁ
Se desejar aproximar numericamente, 48\sqrt{2}\approx48\cdot1{,}4142\approx67{,}882, e a área total aproximada seria \approx99{,}882\\ \text{cm}^{2}, mas a forma exata é preferível.

Resposta

(a) \,4\sqrt{2}\\ \text{cm}
(b) \,2\sqrt{2}\\ \text{cm}
(c) \,2\sqrt{7}\\ \text{cm}
(d) \,2\sqrt{11}\\ \text{cm}
(e) \,32+48\sqrt{2}\\ \text{cm}^{2}

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