Resolva o seguinte problema de valor inicial (PVI)
r y^prime prime-e^x y=0 y(0)=y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado propõe resolver o PVI de segunda ordem
y''-e^xy=0, y(0)=1, y'(0)=1
O conteúdo é Equações Diferenciais Lineares com coeficiente não constante e vamos usar o método de série de potências centrada em 0.

Passo 2

Assumimos uma solução em série de potências em torno de x=0:
y(x)=sumn=0^infty anx^n
Sabemos que a série de e^x também aparece ao substituir.

Passo 3

Calculamos as derivadas em série e a combinação com e^x:
y''(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n,
e^x y(x)=l(sumk=0^inftyx^kk!r)l(summ=0^infty amx^mr) =sumn=0^inftyl(sumk=0^nan-kk!r)x^n

Passo 4

Substituindo na EDO e igualando coeficientes de x^n obtemos a relação:
(n+2)(n+1)an+2-sumk=0^nan-kk!=0
ou seja
an+2=1(n+2)(n+1)sumk=0^nan-kk!, n>=0

Passo 5

Usando as condições iniciais temos
a0=y(0)=1,
a1=y'(0)=1

Passo 6

Agora calculamos os primeiros coeficientes:
Para n=0:
$$
a_2=\frac{1}{2\cdot1}\frac{a_0}{0!}=\frac12. a2=12cdot1a00!=12
a_3=\frac{1}{3\cdot2}\Bigl(\frac{a_1}{0!}+\frac{a_0}{1!}\Bigr)=\frac{2}{6}=\frac13. n=1
a_4=\frac{1}{4\cdot3}\Bigl(a_2+ a_1+\frac{a_0}{2!}\Bigr)=\frac{1}{12}(\tfrac12+1+\tfrac12)=\frac16.$$

Passo 7

Continuando, obtemos por exemplo
a5=15cdot4l(a3+a2+a12!+a03!r)=340,
é fácil gerar os demais via a mesma fórmula de recorrência.

Passo 8

Portanto, a solução em série centrada em 0 é
y(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4+a5x^5+cdots
e, usando os coeficientes calculados,
y(x)=1+x+tfrac12x^2+tfrac13x^3+tfrac16x^4+tfrac340x^5+cdots,
com o termo geral dado pela recorrência acima.

Resposta

y(x)=1+x+\tfrac12x2+\tfrac13x3+\tfrac16x4+\tfrac{3}{40}x5+\cdots, onde
an+2=1(n+2)(n+1)sumk=0^nan-kk!,
e a0=a1=1.

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