Resolva o seguinte problema de valor inicial (PVI)
Passo 1
O enunciado propõe resolver o PVI de segunda ordem
O conteúdo é Equações Diferenciais Lineares com coeficiente não constante e vamos usar o método de série de potências centrada em 0.
Passo 2
Assumimos uma solução em série de potências em torno de x=0:
Sabemos que a série de
também aparece ao substituir.
Passo 3
Calculamos as derivadas em série e a combinação com
:
Passo 4
Substituindo na EDO e igualando coeficientes de
obtemos a relação:
ou seja
Passo 5
Usando as condições iniciais temos
Passo 6
Agora calculamos os primeiros coeficientes:
Para :
Para
$$
a_2=\frac{1}{2\cdot1}\frac{a_0}{0!}=\frac12.
a_3=\frac{1}{3\cdot2}\Bigl(\frac{a_1}{0!}+\frac{a_0}{1!}\Bigr)=\frac{2}{6}=\frac13.
a_4=\frac{1}{4\cdot3}\Bigl(a_2+ a_1+\frac{a_0}{2!}\Bigr)=\frac{1}{12}(\tfrac12+1+\tfrac12)=\frac16.$$
Passo 7
Continuando, obtemos por exemplo
é fácil gerar os demais via a mesma fórmula de recorrência.
Passo 8
Portanto, a solução em série centrada em 0 é
e, usando os coeficientes calculados,
com o termo geral dado pela recorrência acima.
Resposta
y(x)=1+x+\tfrac12x2+\tfrac13x3+\tfrac16x4+\tfrac{3}{40}x5+\cdots, onde
e
.