Uma piscina circular de água está se expandindo a uma taxa de 16 \mathrm{pol}^2 / \mathrm{s}. A que taxa o raio está se expandindo quando o raio mede 4 polegadas?

Passo 1

O enunciado dá uma piscina circular cuja área está crescendo a uma taxa conhecida. Vamos definir as variáveis e o que nos pedem:
A área da piscina é dada por
A = \pi r^2
onde r é o raio. Sabemos que
\frac{dA}{dt} = 16\\ \mathrm{pol}^2/\mathrm{s}
e queremos encontrar
\frac{dr}{dt}
quando r = 4 pol.

Passo 2

Para relacionar \frac{dA}{dt} e \frac{dr}{dt}, derivamos implicitamente a fórmula A=\pi r^2 em relação ao tempo t:
\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(\pi r^2\bigr) = 2\pi r\,\frac{dr}{dt}.

Passo 3

Isolando \frac{dr}{dt} e substituindo \frac{dA}{dt}=16 e r=4, obtemos
\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2\pi r}\,\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2\pi \cdot 4}\cdot 16 = \frac{16}{8\pi} = \frac{2}{\pi}.

Resposta

\frac{dr}{dt} = \frac{2}{\pi}\\ \mathrm{pol}/\mathrm{s}.

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