Uma piscina olímpica deve ser cheia com água clorada na base de 0,05 gramas de cloro por litro. A piscina contém inicialmente 1000 litros de água pura e o fluxo de água clorada correndo para dentro da piscina é de 1 litro por minuto.
a) Determine o volume V(t) de água e a quantidade Q(t) de cloro dentro da piscina t minutos após iniciado o seu enchimento.
b) Estabeleça uma fórmula para a concentração de cloro c(t) na piscina (em g/l) t minutos após iniciado o seu enchimento.
c) Determine o comportamento de c(t) após um período muito grande de tempo.

Passo 1

O enunciado diz que a piscina começa com 1000 L de água pura e recebe fluxo de água clorada à concentração de 0,05 g/L com vazão de 1 L/min. Vamos achar o volume total V(t), a quantidade de cloro Q(t) na piscina e, depois, a concentração c(t).

Passo 2

Como entra 1 L/min e o volume inicial é V0=1000 L, o volume aos t minutos é
V(t)=V0+1cdot t=1000 + t(em litros)

Passo 3

A taxa de entrada de cloro é concentração vezes vazão, ou seja,
dQdt=0,05;gLtimes 1;Lmin=0,05;gmin
Com Q(0)=0, integra-se para obter
Q(t)=0,05,t(em gramas)

Passo 4

A concentração de cloro na piscina é a razão entre a quantidade de cloro e o volume total:
c(t)=Q(t)V(t)=0,05,t1000 + tgL

Passo 5

Para ttoinfty, temos
limttoinftyc(t)=limttoinfty0,05,t1000 + t=0,05gL,
ou seja, a concentração tende àquela da água que entra.

Resposta

a) V(t)=1000 + t L e Q(t)=0,05,t g.
b) c(t)=dfrac0,05,t1000 + t g/L.
c) limttoinftyc(t)=0,05 g/L.

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