Prove, por definição, que:
lim x -3(x^2-3)=6

Passo 1

O enunciado pede para provar, pela definição varepsilon de<a, que
limxto -3l(x^2-3r)=6
O conteúdo é limite de função polinomial e vamos usar a definição formal de limite em um ponto.

Passo 2

Por definição, devemos mostrar que, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
0<|x-(-3)|<de<aLongrightarrowl|(x^2-3)-6r|<varepsilon

Passo 3

Simplificamos o módulo da diferença:
l|(x^2-3)-6r| = |x^2-9| = |x-3|;|x+3|

Passo 4

Para controlar |x-3|, restringimos de<a<=1. Assim, ao exigir 0<|x+3|<de<a<=1 obtemos
-4 < x < -2 ;Longrightarrow; |x-3| = |x+3-6|<=|x+3|+6 < 1+6 = 7
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|x^2-9| = |x-3|,|x+3| < 7,|x+3|

Passo 5

Para garantir 7,|x+3|<varepsilon, basta escolher
de<a = min!l(1,;varepsilon7r)
Então, sempre que 0<|x+3|<de<a teremos
|x^2-3-6| < 7,|x+3| < 7cdotvarepsilon7 = varepsilon,
como queríamos.

Resposta

Escolhendo de<a=min(1,varepsilon/7), fica provado que
limxto -3l(x^2-3r)=6

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