Exercício 1.5.1. Calcule as integrais:
Ij=integral 2+3 xraiz1+4 x+3 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Ij = integral 2 + 3xraiz1 + 4x + 3x^2 , dx
Perceba que no denominador temos raiz1+4x+3x^2 e, no numerador, aparece justamente uma combinação linear cujo diferencial se relaciona com a derivada de 1+4x+3x^2. Isso sugere usar uma substituição.

Passo 2

Definimos
u = 1 + 4x + 3x^2
Calculando o diferencial, vem
du = (4 + 6x),dx = 2,(2 + 3x),dx Longrightarrow (2+3x),dx = du2

Passo 3

Substituindo u e (2+3x),dx na integral, obtemos
integral 2+3xraiz1+4x+3x^2,dx = integral 1raizu;du2 = 12,integral u^-tfrac12,du

Passo 4

Agora basta integrar potência de u:
integral u^-tfrac12,du = 2,u^tfrac12 + C
Logo,
12,integral u^-tfrac12,du = 12cdotl(2,u^tfrac12r) + C = raizu + C
Voltando à variável x, fica
raizu = raiz1 + 4x + 3x^2

Resposta

raiz1 + 4x + 3x^2 + C

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