O piso de um vagão de trem está carregado de caixas soltas cujo coeficiente de atrito estático com o piso é
. Se o trem está se movendo inicialmente com velocidade de
, qual é a menor distância na qual o trem pode ser parado com aceleração constante, sem que as caixas deslizem no piso?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Dados fornecidos:
- Coeficiente de atrito estático entre as caixas e o piso:
. - Velocidade inicial do trem:
. - A aceleração do trem será constante até parar.
- A gravidade terrestre (necessária para calcular a força de atrito máxima) é
(usaremos esse valor padrão).
- Coeficiente de atrito estático entre as caixas e o piso:
- O que é pedido:
- A menor distância na qual o trem pode ser parado (com aceleração constante) sem que as caixas deslizem sobre o piso.
Passo 2
Entendimento físico do problema (o que precisa acontecer para as caixas não deslizarem)
- Quando o trem freia com aceleração para a retaguarda, as caixas “tendem” a continuar em movimento (inércia) e, portanto, há uma tendência de deslizamento relativo entre as caixas e o piso na direção para a frente do trem.
- A força que impede esse deslizamento é a força de atrito estático máxima entre caixa e piso. Se a aceleração do trem for muito grande, a aceleração necessária para a caixa acompanhar o trem excederá o que o atrito estático pode fornecer, e a caixa deslizará.
- Portanto, para que as caixas não deslizem, a intensidade da aceleração do trem (valor absoluto) não pode exceder a aceleração máxima que o atrito estático pode impor às caixas.
Passo 3
Expressar matematicamente a condição de não deslizamento usando a força de atrito estático máxima
- A força de atrito estático máxima sobre uma caixa é, em módulo,
onde
é a normal. Para uma caixa apoiada horizontalmente,
, onde
é a massa da caixa e
é a aceleração da gravidade.
- Logo,
- Para que a caixa acelere junto com o trem sem deslizar, a força resultante horizontal sobre a caixa deve ser
, onde é a aceleração do trem (tome o sinal de tal que seja módulo da desaceleração). Assim, a condição é
- Cancelando
(não depende da massa da caixa),
Passo 4
Interpretar a desigualdade e escolher a aceleração que minimiza a distância de parada
- Para parar em menor distância com aceleração constante é preciso usar a maior aceleração possível (maior módulo de desaceleração).
- Mas para não deslizar as caixas a maior aceleração permitida é
- Então usaremos
como desaceleração constante (valor positivo representando o módulo de ).
Passo 5
Ligar a aceleração máxima ao cálculo da distância usando cinemática
- A equação de cinemática que relaciona velocidade inicial
, velocidade final , aceleração constante e deslocamento é
quando
é o módulo da desaceleração (ou, alternativamente, escrevendo com sinais,
com
negativo). Aqui vamos usar a forma que dá diretamente
- Isolando
,
- Substituímos
pelo máximo permitido , pois queremos a menor distância (usar a maior desaceleração sem provocar deslizamento):
Passo 6
Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (com contas que você consegue fazer sem calculadora)
- Valores numéricos (todos em TeX):
-
- Primeiro calcule
:
- Calcule
:
- Agora a distância:
- Fazer a divisão:
. Podemos aproximar dividindo por que é , então é . - Calcule
. Sabendo que e , vemos que o quociente fica entre e . A diferença , então o resultado é e resto , ou aproximadamente . - Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) obtemos
. Podemos apresentar com uma casa decimal ou sem casas dependendo do contexto; aqui usarei uma casa decimal: .
Passo 7
Interpretação final e reforço do raciocínio (motivação para prova)
- Resumindo a ideia para levar pra prova sem perder pontos:
- Entenda que o atrito estático fornece a aceleração máxima que as caixas podem acompanhar:
. - Para a menor distância de parada com aceleração constante usamos exatamente essa aceleração máxima.
- Use a fórmula de cinemática
e isole . - Substitua números com cuidado, fazendo a divisão como mostrado (transformando em fração se ajudar).
- Entenda que o atrito estático fornece a aceleração máxima que as caixas podem acompanhar:
- Você pode decorar o raciocínio em três linhas: máxima desaceleração sem deslizar =
; usar cinemática ; substituir .