O piso de um vagão de trem está carregado de caixas soltas cujo coeficiente de atrito estático com o piso é \mu_{s}=0,25. Se o trem está se movendo inicialmente com velocidade de 48 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual é a menor distância na qual o trem pode ser parado com aceleração constante, sem que as caixas deslizem no piso?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Dados fornecidos:
    • Coeficiente de atrito estático entre as caixas e o piso: \mu_{s}=0,25.
    • Velocidade inicial do trem: v_{0}=48\\ \mathrm{m/s}.
    • A aceleração do trem será constante até parar.
    • A gravidade terrestre (necessária para calcular a força de atrito máxima) é g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} (usaremos esse valor padrão).
  • O que é pedido:
    • A menor distância na qual o trem pode ser parado (com aceleração constante) sem que as caixas deslizem sobre o piso.

Passo 2

Entendimento físico do problema (o que precisa acontecer para as caixas não deslizarem)
  • Quando o trem freia com aceleração para a retaguarda, as caixas “tendem” a continuar em movimento (inércia) e, portanto, há uma tendência de deslizamento relativo entre as caixas e o piso na direção para a frente do trem.
  • A força que impede esse deslizamento é a força de atrito estático máxima entre caixa e piso. Se a aceleração do trem for muito grande, a aceleração necessária para a caixa acompanhar o trem excederá o que o atrito estático pode fornecer, e a caixa deslizará.
  • Portanto, para que as caixas não deslizem, a intensidade da aceleração do trem (valor absoluto) não pode exceder a aceleração máxima que o atrito estático pode impor às caixas.

Passo 3

Expressar matematicamente a condição de não deslizamento usando a força de atrito estático máxima
  • A força de atrito estático máxima sobre uma caixa é, em módulo,
F_{\text{at\_max}}=\mu_{s}N,
onde N é a normal. Para uma caixa apoiada horizontalmente, N=mg, onde m é a massa da caixa e g é a aceleração da gravidade.
  • Logo,
F_{\text{at\_max}}=\mu_{s}mg.
  • Para que a caixa acelere junto com o trem sem deslizar, a força resultante horizontal sobre a caixa deve ser F=ma, onde a é a aceleração do trem (tome o sinal de a tal que a>0 seja módulo da desaceleração). Assim, a condição é
ma \le \mu_{s} m g.
  • Cancelando m (não depende da massa da caixa),
a \le \mu_{s} g.

Passo 4

Interpretar a desigualdade e escolher a aceleração que minimiza a distância de parada
  • Para parar em menor distância com aceleração constante é preciso usar a maior aceleração possível (maior módulo de desaceleração).
  • Mas para não deslizar as caixas a maior aceleração permitida é
a_{\max}=\mu_{s} g.
  • Então usaremos a=\mu_{s} g como desaceleração constante (valor positivo representando o módulo de a).

Passo 5

Ligar a aceleração máxima ao cálculo da distância usando cinemática
  • A equação de cinemática que relaciona velocidade inicial v_{0}, velocidade final v, aceleração constante a e deslocamento d é
v^{2}=v_{0}^{2}-2ad,
quando a é o módulo da desaceleração (ou, alternativamente, escrevendo com sinais, 0=v_{0}^{2}+2a d com a negativo). Aqui vamos usar a forma que dá diretamente
0=v_{0}^{2}-2 a d.
  • Isolando d,
d=\frac{v_{0}^{2}}{2a}.
  • Substituímos a pelo máximo permitido a_{\max}=\mu_{s} g, pois queremos a menor distância (usar a maior desaceleração sem provocar deslizamento):
d_{\min}=\frac{v_{0}^{2}}{2\mu_{s}g}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (com contas que você consegue fazer sem calculadora)
  • Valores numéricos (todos em TeX):
    • \mu_{s}=0,25
    • g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}
    • v_{0}=48\\ \mathrm{m/s}
  • Primeiro calcule v_{0}^{2}:
48^{2}=2304.
  • Calcule 2\mu_{s}g:
\mu_{s}g=0,25\times 9,8=2,45,
2\mu_{s}g=2\times 2,45=4,9.
  • Agora a distância:
d_{\min}=\frac{2304}{4,9}.
  • Fazer a divisão: 2304\div 4,9. Podemos aproximar dividindo por 4,9 que é 49/10, então é 2304\times 10/49 = 23040/49.
  • Calcule 23040/49. Sabendo que 49\times 470=23030 e 49\times 471=23079, vemos que o quociente fica entre 470 e 471. A diferença 23040-23030=10, então o resultado é 470 e resto 10, ou aproximadamente 470,204.
  • Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) obtemos d_{\min}\approx 470,20\\ \mathrm{m}. Podemos apresentar com uma casa decimal ou sem casas dependendo do contexto; aqui usarei uma casa decimal: 470,2\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação final e reforço do raciocínio (motivação para prova)
  • Resumindo a ideia para levar pra prova sem perder pontos:
    • Entenda que o atrito estático fornece a aceleração máxima que as caixas podem acompanhar: a_{\max}=\mu_{s}g.
    • Para a menor distância de parada com aceleração constante usamos exatamente essa aceleração máxima.
    • Use a fórmula de cinemática 0=v_{0}^{2}-2ad e isole d.
    • Substitua números com cuidado, fazendo a divisão como mostrado (transformando em fração se ajudar).
  • Você pode decorar o raciocínio em três linhas: máxima desaceleração sem deslizar = \mu_{s}g; usar cinemática d=v_{0}^{2}/(2a); substituir a=\mu_{s}g.

Resposta

470{,}2\\ \mathrm{m}

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