A velocidade terminal de um paraquedista é
na posição de águia e
na posição de mergulho de cabeça. Supondo que o coeficiente de arrasto
do paraquedista não muda de uma posição para outra, determine a razão entre a área da seção reta efetiva
(posição de menor velocidade) e a área
(posição de maior velocidade).
Passo 1
O enunciado dá as velocidades terminais nas duas posições e pede a razão entre as áreas efetivas. Informações relevantes (tudo em TeX):
(posição de menor velocidade),
(posição de maior velocidade),
o coeficiente de arrasto é o mesmo nas duas posições.
O que se pede: a razão , onde
é a área na posição de menor velocidade e
a área na posição de maior velocidade.
o coeficiente de arrasto
O que se pede: a razão
Passo 2
Conceito físico principal (explicado passo a passo): na velocidade terminal há equilíbrio de forças verticais — o peso atua para baixo e a força de arrasto para cima, de forma que a soma das forças é zero. A fórmula usual para a força de arrasto em regime de escoamento comumente usada em problemas elementares é
Expliquei as variáveis:
é a força de arrasto (N),
é a densidade do ar (kg/m^3),
é o coeficiente de arrasto (adimensional),
é a área da seção eficaz (m^2) e
é a velocidade relativa do corpo ao ar (m/s). Essa fórmula diz que o arrasto cresce com o quadrado da velocidade e é proporcional à área e ao coeficiente
.
Passo 3
Escrevendo o equilíbrio de forças na vertical para a velocidade terminal
:
onde
é a massa do paraquedista e
a aceleração da gravidade. Agora isolamos
(vou mostrar cada passo algébrico):
multiplicamos ambos os lados por
:
e então isolamos
:
Aqui vemos claramente o que cada símbolo representa e que
depende inversamente de
.
Passo 4
Agora usamos a expressão de
para as duas posições. Para a posição “águia” (subíndice
) e para a posição “mergulho” (subíndice
):
Fazendo a razão,: os fatores comuns
cancelam. Mostrando a simplificação:
Comentário didático: isso significa que, se o coeficiente
, a massa
, a gravidade
e a densidade
são os mesmos, a razão das áreas depende só das velocidades terminais ao quadrado — intuitivamente, para ter velocidade menor a área precisa ser maior, e a dependência é com o quadrado da velocidade.
Passo 5
Substituímos os valores numéricos das velocidades (tudo em TeX):
Simplificando a fração
, obtemos
Passo 6
Calculamos os quadrados e a razão numérica passo a passo:
Se quisermos o valor decimal (para comparação rápida):