A velocidade terminal de um paraquedista é 160 m / s na posição de águia e 310 m / s na posição de mergulho de cabeça. Supondo que o coeficiente de arrasto C do paraquedista não muda de uma posição para outra, determine a razão entre a área da seção reta efetiva A_{\text {guia }} (posição de menor velocidade) e a área A_{\text {mergulho }} (posição de maior velocidade).

Passo 1

O enunciado dá as velocidades terminais nas duas posições e pede a razão entre as áreas efetivas. Informações relevantes (tudo em TeX):
\;v_{\text{águia}} = 160\\ \text{m/s}á (posição de menor velocidade),
\;v_{\text{mergulho}} = 310\\ \text{m/s} (posição de maior velocidade),
o coeficiente de arrasto \;C é o mesmo nas duas posições.
O que se pede: a razão \; \dfrac{A_{\text{guia}}}{A_{\text{mergulho}}}, onde \;A_{\text{guia}} é a área na posição de menor velocidade e \;A_{\text{mergulho}} a área na posição de maior velocidade.

Passo 2

Conceito físico principal (explicado passo a passo): na velocidade terminal há equilíbrio de forças verticais — o peso atua para baixo e a força de arrasto para cima, de forma que a soma das forças é zero. A fórmula usual para a força de arrasto em regime de escoamento comumente usada em problemas elementares é
F_d = \frac{1}{2}\rho C A v^2.
Expliquei as variáveis: \;F_d é a força de arrasto (N), \;\rho é a densidade do ar (kg/m^3), \;C é o coeficiente de arrasto (adimensional), \;A é a área da seção eficaz (m^2) e \;v é a velocidade relativa do corpo ao ar (m/s). Essa fórmula diz que o arrasto cresce com o quadrado da velocidade e é proporcional à área e ao coeficiente C.

Passo 3

Escrevendo o equilíbrio de forças na vertical para a velocidade terminal \;v_t:
mg = F_d = \frac{1}{2}\rho C A v_t^2,
onde \;m é a massa do paraquedista e \;g a aceleração da gravidade. Agora isolamos \;A (vou mostrar cada passo algébrico):
mg = \frac{1}{2}\rho C A v_t^2
multiplicamos ambos os lados por 2:
2mg = \rho C A v_t^2
e então isolamos A:
A = \frac{2mg}{\rho C v_t^2}.
Aqui vemos claramente o que cada símbolo representa e que A depende inversamente de v_t^2.

Passo 4

Agora usamos a expressão de A para as duas posições. Para a posição “águia” (subíndice \text{guia}) e para a posição “mergulho” (subíndice \text{mergulho}):
A_{\text{guia}} = \frac{2mg}{\rho C v_{\text{guia}}^2}, \qquad A_{\text{mergulho}} = \frac{2mg}{\rho C v_{\text{mergulho}}^2}.
Fazendo a razão,: os fatores comuns \;2mg/(\rho C) cancelam. Mostrando a simplificação:
\frac{A_{\text{guia}}}{A_{\text{mergulho}}} = \frac{\dfrac{2mg}{\rho C v_{\text{guia}}^2}}{\dfrac{2mg}{\rho C v_{\text{mergulho}}^2}} = \frac{v_{\text{mergulho}}^2}{v_{\text{guia}}^2}.
Comentário didático: isso significa que, se o coeficiente C, a massa m, a gravidade g e a densidade \rho são os mesmos, a razão das áreas depende só das velocidades terminais ao quadrado — intuitivamente, para ter velocidade menor a área precisa ser maior, e a dependência é com o quadrado da velocidade.

Passo 5

Substituímos os valores numéricos das velocidades (tudo em TeX):
\frac{A_{\text{guia}}}{A_{\text{mergulho}}} = \left(\frac{v_{\text{mergulho}}}{v_{\text{guia}}}\right)^{2} = \left(\frac{310}{160}\right)^{2}.
Simplificando a fração \dfrac{310}{160} = \dfrac{31}{16}, obtemos
\frac{A_{\text{guia}}}{A_{\text{mergulho}}} = \left(\frac{31}{16}\right)^{2}.

Passo 6

Calculamos os quadrados e a razão numérica passo a passo:
\left(\frac{31}{16}\right)^{2} = \frac{31^{2}}{16^{2}} = \frac{961}{256}.
Se quisermos o valor decimal (para comparação rápida):
\frac{961}{256} \approx 3{,}75390625.

Resposta

\displaystyle \frac{961}{256} = \left(\frac{31}{16}\right)^{2} \approx 3{,}75390625

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