Três vetores são dados por:
\vec{A}=3,0 \hat{i}+3,0 \hat{j}-2,0 \hat{k}, \quad \vec{B}=-1,0 \hat{i}-4,0 \hat{j}+2,0 \hat{k}, \quad \vec{C}=2,0 \hat{i}+2,0 \hat{j}+1,0 \hat{k}
Determine:
\vec{A} \times(\vec{B}+\vec{C})

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede o produto vetorial entre \vec{A} e a soma \vec{B}+\vec{C}.
Informações dadas:
\vec{A}=3,0\hat{i}+3,0\hat{j}-2,0\hat{k},
\vec{B}=-1,0\hat{i}-4,0\hat{j}+2,0\hat{k},
\vec{C}=2,0\hat{i}+2,0\hat{j}+1,0\hat{k}.
O que devemos determinar: \vec{A}\times(\vec{B}+\vec{C}).

Passo 2

Estratégia: vou primeiro somar \vec{B}+\vec{C} componente a componente (isso é direto) e depois calcular o produto vetorial \vec{A}\times (resultado). Outra possibilidade seria usar a distributividade \vec{A}\times(\vec{B}+\vec{C})=\vec{A}\times\vec{B}+\vec{A}\times\vec{C}; ambos dão o mesmo resultado, mas somar primeiro simplifica a notação.

Passo 3

Calculo de \vec{B}+\vec{C} componente a componente (peguei os valores de \vec{B} e \vec{C} do enunciado):
\vec{B}+\vec{C} = (-1,0+2,0)\hat{i}+(-4,0+2,0)\hat{j}+(2,0+1,0)\hat{k}.
Fazendo as somas:
\vec{B}+\vec{C}=1,0\hat{i}-2,0\hat{j}+3,0\hat{k}.
Para simplificar a escrita, chamo \vec{D}=\vec{B}+\vec{C}, então
\vec{D}=(1,0,\,-2,0,\,3,0).

Passo 4

Lembrete didático sobre produto vetorial (passo-a-passo):
  • O produto vetorial \vec{X}\times\vec{Y} entre dois vetores em 3D resulta num vetor perpendicular a ambos.
  • Em componentes, se \vec{X}=(X_x,X_y,X_z) e \vec{Y}=(Y_x,Y_y,Y_z), então os componentes de \vec{X}\times\vec{Y} são dados por
\vec{X}\times\vec{Y}=\big(X_yY_z-X_zY_y\big)\hat{i}-\big(X_xY_z-X_zY_x\big)\hat{j}+\big(X_xY_y-X_yY_x\big)\hat{k}.
  • Outra forma equivalente é usar o determinante com a base \hat{i},\hat{j},\hat{k}:
\vec{X}\times\vec{Y}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\\ X_x & X_y & X_z \\\ Y_x & Y_y & Y_z \end{vmatrix}.
Vou usar a fórmula por componentes porque é direta para cálculo manual.

Passo 5

Agora aplico a fórmula com \vec{A}=(3,0,\,3,0,\,-2,0) e \vec{D}=(1,0,\,-2,0,\,3,0).
Componente \hat{i}:
(\text{compon. }\hat{i})=A_yD_z-A_zD_y.
Substituindo números:
A_yD_z-A_zD_y=3,0\cdot3,0-(-2,0)\cdot(-2,0)=9,0-4,0=5,0.

Passo 6

Componente \hat{j} (atenção ao sinal negativo na fórmula):
(\text{compon. }\hat{j})= -\big(A_xD_z-A_zD_x\big).
Substituindo:
A_xD_z-A_zD_x=3,0\cdot3,0-(-2,0)\cdot1,0=9,0-(-2,0)=11,0,
portanto
(\text{compon. }\hat{j})=-11,0.

Passo 7

Componente \hat{k}:
(\text{compon. }\hat{k})=A_xD_y-A_yD_x.
Substituindo:
A_xD_y-A_yD_x=3,0\cdot(-2,0)-3,0\cdot1,0=-6,0-3,0=-9,0.

Passo 8

Juntando as 3 componentes obtidas, o produto vetorial é
\vec{A}\times(\vec{B}+\vec{C})=5,0\hat{i}-11,0\hat{j}-9,0\hat{k}.
Como verificação rápida (opcional): calculando \vec{A}\times\vec{B}=(-2,0,-4,0,-9,0) e \vec{A}\times\vec{C}=(7,0,-7,0,0,0) e somando dá exatamente (5,0,-11,0,-9,0), então está consistente.

Resposta

\;5,0\hat{i}-11,0\hat{j}-9,0\hat{k}

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