• 1 O piso de um vagão de trem está carregado de caixas soltas cujo coeficiente de atrito estático como piso é 0,25 . Se o trem está se movendo inicialmente com uma velocidade de 48 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, qual é a menor distância na qual o trem pode ser parado com aceleração constante sem que as caixas deslizem no piso?

Passo 1

O enunciado pede: qual é a menor distância na qual o trem pode ser parado com aceleração constante sem que as caixas deslizem no piso. Informações dadas:
  • coeficiente de atrito estático: \mu_s = 0{,}25 (peguei do enunciado);
  • velocidade inicial do trem: v_0 = 48\\ \mathrm{km/h} (peguei do enunciado);
  • queremos a menor distância de parada com desaceleração constante, sob a condição de que as caixas NÃO deslizem.

Passo 2

Entendendo a física (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Para que as caixas não deslizem, a força de atrito estático deve ser capaz de fornecer a força horizontal necessária para acelerar (no caso, desacelerar junto com o vagão) cada caixa.
  • A força de atrito estático máxima que o piso pode fornecer para uma caixa de massa m é
f_{\max}=\mu_s N,
onde N é a força normal. Como o piso é horizontal, N=mg. Logo
f_{\max}=\mu_s m g.
  • Pela segunda lei de Newton (num referencial inercial), a força resultante horizontal sobre a caixa é m a, onde a é a aceleração (negativa para desaceleração). Para não haver deslizamento precisamos que a magnitude dessa força não exceda f_{\max}. Assim
m|a|\le \mu_s m g.
Cancelando m (aplica-se para qualquer massa), obtemos o valor máximo permitido para a magnitude da desaceleração sem deslizamento:
|a|_{\max}=\mu_s g.
Explicação intuitiva: se o trem freia mais forte do que \mu_s g, o chão não consegue “puxar” a caixa o suficiente e ela escorrega.

Passo 3

Relação kinemática para parar com desaceleração constante.
  • Se a desaceleração for constante a e o trem parte de v_0 e para em v=0, a equação cinemática que liga velocidade e distância é
v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta x.
  • Colocando v=0 e isolando \Delta x (distância de parada) e usando que a é negativo, é mais prático trabalhar com magnitudes:
\Delta x = \frac{v_0^2}{2|a|}.
Para obter a menor distância possível sem deslizamento usamos |a| = |a|_{\max} = \mu_s g. Portanto
\Delta x_{\min} = \frac{v_0^2}{2\mu_s g}.

Passo 4

Converter a velocidade para unidades do Sistema Internacional (m/s).
  • Sabendo que 1\\ \mathrm{km/h}=\dfrac{1000}{3600}=\dfrac{5}{18}\\ \mathrm{m/s}, temos
v_0 = 48\\ \mathrm{km/h} = 48\cdot \frac{5}{18}\\ \mathrm{m/s} = \frac{240}{18}\\ \mathrm{m/s} = \frac{40}{3}\\ \mathrm{m/s} \approx 13{,}333\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular o valor numérico de |a|_{\max}.
  • Tomando g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão),
|a|_{\max}=\mu_s g = 0{,}25\cdot 9{,}8 = 2{,}45\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 6

Calcular a menor distância de parada substituindo os valores na fórmula.
  • Primeiro calcule v_0^2:
v_0^2=\left(\frac{40}{3}\right)^2=\frac{1600}{9}\\ \mathrm{m^2/s^2}.
  • Agora
\Delta x_{\min}=\frac{v_0^2}{2\mu_s g}=\frac{\tfrac{1600}{9}}{2\cdot 2{,}45}=\frac{1600}{9\cdot 4{,}9}=\frac{1600}{44{,}1}.
  • Fazendo a divisão,
\Delta x_{\min}\approx 36{,}281\\ \mathrm{m}.
Arredondando com razoável precisão,
\Delta x_{\min}\approx 36{,}3\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação final rápida e dica para prova.
  • Significado: se o trem tentar parar numa distância menor do que \approx 36{,}3\\ \mathrm{m}, a desaceleração necessária ultrapassará \mu_s g e as caixas começarão a deslizar.
  • Dica prática para prova: primeiro converta v_0 pra m/s, depois calcule |a|_{\max}=\mu_s g e use \Delta x=v_0^2/(2\mu_s g). Isso economiza tempo e evita erro conceitual.

Resposta

\Delta x_{\min}\approx 36{,}3\\ \mathrm{m}

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