Uma bóia cilíndrica de massa m e área de base A flutua em um líquido de densidade \rho. Nossa missão é encontrar a frequência natural com que ela oscila verticalmente se for levemente afundada e solta.

Aplicando o Algoritmo

  1. Passo 1 (Equilíbrio): No equilíbrio, quais são as duas forças que atuam na bóia? Escreva a equação que representa o balanço entre elas. (Lembre-se do Princípio de Arquimedes).
  2. Passo 2 (Perturbação): Afundamos a bóia por uma pequena distância vertical \delta y.

3. Passo 3 (Força Restauradora):

(a) Qual é o volume adicional de líquido deslocado devido à perturbação \delta y ?
(b) Qual é a força de empuxo adicional para cima causada por este volume?
(c) Esta força adicional é a força resultante restauradora. Escreva F_{\text {res }} em função de \delta y. Certifique-se de que ela tenha a forma -k_{\text {efetivo }} \cdot \delta y. Qual é o k_{\text {efetivo }} deste sistema?
4. Passo 4 (Identificando \omega^{2} ): Aplique a 2^{\mathrm{a}} Lei de Newton, m \ddot{\delta y}=F_{\text {res }}. Reorganize a equação para a forma canônica e identifique \omega^{2}.

Passo 1

O enunciado dá uma bóia cilíndrica com massa m e área da base A que flutua num líquido de densidade \rho. Pedem para encontrar a frequência natural de pequenas oscilações verticais quando a bóia é levemente afundada e solta. Informações relevantes que temos e perguntas a responder:
  • Dados: m (massa da bóia), A (área da base do cilindro), \rho (densidade do líquido), e a aceleração da gravidade g (presente implicitamente).
  • Perturbação: deslocamento vertical pequeno \delta y.
  • Perguntas pedidas no problema:
    1. No equilíbrio, escrever a equação de equilíbrio entre as duas forças que atuam na bóia.
    2. Ao afundar a bóia por \delta y: (a) qual é o volume adicional deslocado; (b) qual é a força de empuxo adicional para cima; (c) expressar a força restauradora F_{\text{res}} em função de \delta y na forma -k_{\text{efetivo}}\delta y e identificar k_{\text{efetivo}}.
    3. Aplicar a segunda lei de Newton m\ddot{\delta y}=F_{\text{res}} e identificar \omega^2 da oscilação.

Passo 2

Equilíbrio: quais forças atuam e equação de equilíbrio.
  • Força peso para baixo: é a força gravitacional sobre a bóia, dada por mg, onde m é a massa da bóia e g é a aceleração da gravidade.
  • Força de empuxo para cima: pelo Princípio de Arquimedes, o empuxo é igual ao peso do fluido deslocado. Se o volume submerso for V_{\text{sub}}, então o empuxo é \rho g V_{\text{sub}}, onde \rho é a densidade do líquido.
    No equilíbrio (situação sem aceleração vertical), essas duas forças se equilibram:
\rho g V_{\text{sub}} = mg.
Para um cilindro vertical com área da base A, experimente imaginar que o volume submerso é uma coluna de altura y_0 (profundidade submersa no equilíbrio) multiplicada por A:
V_{\text{sub}} = A y_0.
Substituindo na equação de equilíbrio:
\rho g A y_0 = mg.
Resolvendo para a profundidade de equilíbrio y_0:
y_0 = \frac{m}{\rho A}.
Comentário didático: essa fórmula faz sentido dimensionalmente — \frac{m}{\rho A} tem unidades de comprimento — e significa: a bóia afunda até deslocar um volume de fluido cujo peso equivale ao seu próprio peso.

Passo 3

Perturbação e força restauradora.
Definimos sinal: tomamos \delta y>0 quando a bóia é empurrada para baixo (mais submersa). Isso facilita ver que a força de empuxo adicional é para cima (restauradora).
(a) Volume adicional deslocado devido à pequena descida \delta y.
  • O volume adicional é a área da base multiplicada pela pequena altura extra submersa:
\Delta V = A\,\delta y.
Explicação: pense no cilindro entrando um pouco mais no líquido; a seção extra é um “prisma” de base A e altura \delta y.
(b) Força de empuxo adicional para cima causada por esse volume.
  • Usando Arquimedes novamente, a força adicionada é o peso do fluido correspondente a \Delta V:
\Delta F_{\text{empuxo}} = \rho g \Delta V = \rho g A\,\delta y.
Observação: esta força adicional aponta para cima (contrária ao deslocamento para baixo).
(c) Força restauradora resultante F_{\text{res}} em função de \delta y, na forma -k_{\text{efetivo}}\delta y.
  • Se deslocamos a bóia para baixo por \delta y, a força extra de empuxo para cima é \rho g A\,\delta y. Essa é a força que tende a trazer a bóia de volta à posição de equilíbrio, ou seja, a força restauradora. Com a convenção \delta y>0 para baixo, a força restauradora tem sinal negativo (aponta para cima):
F_{\text{res}} = -\rho g A\,\delta y.
  • Comparando com a forma de mola linear -k_{\text{efetivo}}\delta y, identificamos o constante efetiva:
k_{\text{efetivo}} = \rho g A.
Aula rápida sobre significado: k_{\text{efetivo}} tem unidades de N/m — é como uma “constante elástica” que relaciona deslocamento vertical da bóia com a força restauradora devido ao empuxo.

Passo 4

Identificando \omega^2 pela segunda lei de Newton.
  • A segunda lei para o deslocamento pequeno \delta y(t) é
m\ddot{\delta y} = F_{\text{res}}.
Substituindo F_{\text{res}} = -\rho g A\,\delta y,
m\ddot{\delta y} = -\rho g A\,\delta y.
  • Reorganizando para a forma padrão da equação harmônica simples \ddot{x} + \omega^2 x = 0, dividimos por m:
\ddot{\delta y} + \frac{\rho g A}{m}\,\delta y = 0.
  • Portanto, identificamos
\omega^2 = \frac{\rho g A}{m},
e a frequência angular natural é
\omega = \sqrt{\frac{\rho g A}{m}}.
Breve checagem dimensional: \rho g A tem unidades \text{kg/m}^3 \cdot \text{m/s}^2 \cdot \text{m}^2 = \text{N/m}, dividir por m ( \text{kg}) dá \text{s}^{-2}, o que é consistente com \omega^2.

Resposta

\displaystyle \omega^{2}=\frac{\rho g A}{m}
\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{\rho g A}{m}}

Exercícios relacionados