Uma bóia cilíndrica de massa
e área de base
flutua em um líquido de densidade
. Nossa missão é encontrar a frequência natural com que ela oscila verticalmente se for levemente afundada e solta.
Aplicando o Algoritmo
- Passo 1 (Equilíbrio): No equilíbrio, quais são as duas forças que atuam na bóia? Escreva a equação que representa o balanço entre elas. (Lembre-se do Princípio de Arquimedes).
- Passo 2 (Perturbação): Afundamos a bóia por uma pequena distância vertical
.
3. Passo 3 (Força Restauradora):
(a) Qual é o volume adicional de líquido deslocado devido à perturbação
?
(b) Qual é a força de empuxo adicional para cima causada por este volume?
(c) Esta força adicional é a força resultante restauradora. Escreva
em função de
. Certifique-se de que ela tenha a forma
. Qual é o
deste sistema?
4. Passo 4 (Identificando
): Aplique a
Lei de Newton,
. Reorganize a equação para a forma canônica e identifique
.
(b) Qual é a força de empuxo adicional para cima causada por este volume?
(c) Esta força adicional é a força resultante restauradora. Escreva
4. Passo 4 (Identificando
Passo 1
O enunciado dá uma bóia cilíndrica com massa
e área da base
que flutua num líquido de densidade
. Pedem para encontrar a frequência natural de pequenas oscilações verticais quando a bóia é levemente afundada e solta. Informações relevantes que temos e perguntas a responder:
- Dados:
(massa da bóia), (área da base do cilindro), (densidade do líquido), e a aceleração da gravidade (presente implicitamente). - Perturbação: deslocamento vertical pequeno
. - Perguntas pedidas no problema:
- No equilíbrio, escrever a equação de equilíbrio entre as duas forças que atuam na bóia.
- Ao afundar a bóia por
: (a) qual é o volume adicional deslocado; (b) qual é a força de empuxo adicional para cima; (c) expressar a força restauradora em função de na forma e identificar . - Aplicar a segunda lei de Newton
e identificar da oscilação.
Passo 2
Equilíbrio: quais forças atuam e equação de equilíbrio.
- Força peso para baixo: é a força gravitacional sobre a bóia, dada por
, onde é a massa da bóia e é a aceleração da gravidade. - Força de empuxo para cima: pelo Princípio de Arquimedes, o empuxo é igual ao peso do fluido deslocado. Se o volume submerso for
, então o empuxo é , onde é a densidade do líquido.
No equilíbrio (situação sem aceleração vertical), essas duas forças se equilibram:
Para um cilindro vertical com área da base
, experimente imaginar que o volume submerso é uma coluna de altura
(profundidade submersa no equilíbrio) multiplicada por
:
Substituindo na equação de equilíbrio:
Resolvendo para a profundidade de equilíbrio
:
Comentário didático: essa fórmula faz sentido dimensionalmente —
tem unidades de comprimento — e significa: a bóia afunda até deslocar um volume de fluido cujo peso equivale ao seu próprio peso.
Passo 3
Perturbação e força restauradora.
Definimos sinal: tomamos quando a bóia é empurrada para baixo (mais submersa). Isso facilita ver que a força de empuxo adicional é para cima (restauradora).
Definimos sinal: tomamos
(a) Volume adicional deslocado devido à pequena descida
.
- O volume adicional é a área da base multiplicada pela pequena altura extra submersa:
Explicação: pense no cilindro entrando um pouco mais no líquido; a seção extra é um “prisma” de base
e altura
.
(b) Força de empuxo adicional para cima causada por esse volume.
- Usando Arquimedes novamente, a força adicionada é o peso do fluido correspondente a
:
Observação: esta força adicional aponta para cima (contrária ao deslocamento para baixo).
(c) Força restauradora resultante
em função de
, na forma
.
- Se deslocamos a bóia para baixo por
, a força extra de empuxo para cima é . Essa é a força que tende a trazer a bóia de volta à posição de equilíbrio, ou seja, a força restauradora. Com a convenção para baixo, a força restauradora tem sinal negativo (aponta para cima):
- Comparando com a forma de mola linear
, identificamos o constante efetiva:
Aula rápida sobre significado:
tem unidades de N/m — é como uma “constante elástica” que relaciona deslocamento vertical da bóia com a força restauradora devido ao empuxo.
Passo 4
Identificando
pela segunda lei de Newton.
- A segunda lei para o deslocamento pequeno
é
Substituindo
,
- Reorganizando para a forma padrão da equação harmônica simples
, dividimos por :
- Portanto, identificamos
e a frequência angular natural é
Breve checagem dimensional:
tem unidades
, dividir por
(
) dá
, o que é consistente com
.