1. Um personagem está na posição (2,3). Ele se move 3 unidades para a direita e 2 para cima. Em seguida, o cenário é redimensionado por um fator de 2 .
    (a) Qual é a nova posição do personagem após as operações?
    (b) Quais operações vetoriais foram aplicadas? Descreva como elas funcionam em espaços vetoriais.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Posição inicial do personagem: \mathbf{p}_0 = (2,3).
    • O personagem se move 3 unidades para a direita e 2 unidades para cima. (Ou seja, um deslocamento vetorial \mathbf{t} = (3,2).)
    • Em seguida, o cenário é redimensionado por um fator 2. (Vou assumir o redimensionamento em relação à origem do sistema de coordenadas, que é a convenção mais comum quando não se diz outra coisa.)
  • Perguntas:
    • (a) Qual é a nova posição do personagem após as operações?
    • (b) Quais operações vetoriais foram aplicadas? Descrever como elas funcionam em espaços vetoriais.

Passo 2

Representação vetorial e significado das componentes.
  • Em \mathbb{R}^2, uma posição é um vetor \mathbf{p}=(x,y) onde x é a coordenada horizontal (direita positivo) e y é a coordenada vertical (cima positivo).
  • Aqui, \mathbf{p}_0=(2,3) significa que o personagem está a 2 unidades à direita do eixo y e 3 unidades acima do eixo x.
  • O deslocamento \mathbf{t}=(3,2) significa: mover 3 na direção x (direita) e 2 na direção y (cima).

Passo 3

Aplicar a tradução (deslocamento) como soma vetorial — passo a passo e aula rápida.
  • A tradução por um vetor \mathbf{t} é feita somando componente a componente: se \mathbf{p}_0=(x_0,y_0) e \mathbf{t}=(t_x,t_y), então a nova posição após a tradução é \mathbf{p}_1 = \mathbf{p}_0 + \mathbf{t}.
  • Isso significa \mathbf{p}_1=(x_0+t_x,\;y_0+t_y). Aqui cada componente é somada separadamente.
  • Aplicando aos números: \mathbf{p}_0=(2,3) e \mathbf{t}=(3,2), então \mathbf{p}_1 = (2+3,\;3+2) = (5,5).
  • Interpretação geométrica: a posição foi deslocada 3 para a direita e 2 para cima, chegando em (5,5).

Passo 4

Explicar a dilatação (redimensionamento) como multiplicação escalar — passo a passo e aula rápida.
  • Redimensionar o cenário por um fator s em relação à origem corresponde a multiplicar todas as coordenadas por s. Em termos vetoriais, com s\in\mathbb{R}, \mathbf{p}' = s\,\mathbf{p}.
  • Isso significa multiplicar cada componente: se \mathbf{p}=(x,y) então s\mathbf{p}=(s x,\; s y).
  • No nosso caso s=2 e a posição antes do redimensionamento é \mathbf{p}_1=(5,5). Então \mathbf{p}_2 = 2\,\mathbf{p}_1 = (2\cdot5,\;2\cdot5) = (10,10).
  • Geometricamente, a dilatação em relação à origem dobra a distância de cada ponto até a origem, mantendo a direção.

Passo 5

Combinação das operações em fórmulas vetoriais e observação sobre ordem das operações.
  • Combinando as duas etapas (primeiro tradução, depois escala), a operação total sobre \mathbf{p}_0 é \mathbf{p}_{\text{final}} = s\big(\mathbf{p}_0 + \mathbf{t}\big).
  • Substituindo s=2, \mathbf{p}_0=(2,3) e \mathbf{t}=(3,2): \mathbf{p}_{\text{final}} = 2\big((2,3)+(3,2)\big) = 2(5,5) = (10,10).
  • Observação importante (conceito útil para prova): tradução é uma operação afim (não linear se vista sozinha porque não preserva a origem), enquanto multiplicação por escalar é uma operação linear. A ordem importa se a escala é feita em relação à origem: escalar primeiro e depois traduzir dá um resultado diferente de traduzir primeiro e depois escalar. Exemplo rápido: escalar primeiro \Rightarrow 2(2,3)=(4,6) e depois traduzir por (3,2) (7,8), que é diferente de (10,10).

Passo 6

Resumo prático de como fazer em prova (sem calculadora) — passos diretos.
  1. Escreva os vetores: \mathbf{p}_0=(2,3), \mathbf{t}=(3,2), s=2.
  2. Faça a soma componente a componente: \mathbf{p}_1=\mathbf{p}_0+\mathbf{t}=(5,5).
  3. Multiplique cada componente por s: \mathbf{p}_2= s\mathbf{p}_1=(10,10).
  4. Responda e, se precisar, explique que a tradução é soma vetorial e a dilatação é multiplicação escalar em \mathbb{R}^2.

Resposta

(a) (10,10)
(b) Tradução por (3,2) seguida de dilatação (multiplicação escalar) por 2 em relação à origem; em fórmulas vetoriais \mathbf{p}_{\text{final}}=2\big(\mathbf{p}_0+(3,2)\big)=(10,10).

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