- Um personagem está na posição
. Ele se move 3 unidades para a direita e 2 para cima. Em seguida, o cenário é redimensionado por um fator de 2 .
(a) Qual é a nova posição do personagem após as operações?
(b) Quais operações vetoriais foram aplicadas? Descreva como elas funcionam em espaços vetoriais.
(a) Qual é a nova posição do personagem após as operações?
(b) Quais operações vetoriais foram aplicadas? Descreva como elas funcionam em espaços vetoriais.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
- Posição inicial do personagem:
. - O personagem se move
unidades para a direita e unidades para cima. (Ou seja, um deslocamento vetorial .) - Em seguida, o cenário é redimensionado por um fator
. (Vou assumir o redimensionamento em relação à origem do sistema de coordenadas, que é a convenção mais comum quando não se diz outra coisa.)
- Posição inicial do personagem:
-
Perguntas:
- (a) Qual é a nova posição do personagem após as operações?
- (b) Quais operações vetoriais foram aplicadas? Descrever como elas funcionam em espaços vetoriais.
Passo 2
Representação vetorial e significado das componentes.
- Em
, uma posição é um vetor onde é a coordenada horizontal (direita positivo) e é a coordenada vertical (cima positivo). - Aqui,
significa que o personagem está a unidades à direita do eixo e unidades acima do eixo . - O deslocamento
significa: mover na direção (direita) e na direção (cima).
Passo 3
Aplicar a tradução (deslocamento) como soma vetorial — passo a passo e aula rápida.
- A tradução por um vetor
é feita somando componente a componente: se e , então a nova posição após a tradução é - Isso significa
. Aqui cada componente é somada separadamente. - Aplicando aos números:
e , então - Interpretação geométrica: a posição foi deslocada
para a direita e para cima, chegando em .
Passo 4
Explicar a dilatação (redimensionamento) como multiplicação escalar — passo a passo e aula rápida.
- Redimensionar o cenário por um fator
em relação à origem corresponde a multiplicar todas as coordenadas por . Em termos vetoriais, com , - Isso significa multiplicar cada componente: se
então . - No nosso caso
e a posição antes do redimensionamento é . Então - Geometricamente, a dilatação em relação à origem dobra a distância de cada ponto até a origem, mantendo a direção.
Passo 5
Combinação das operações em fórmulas vetoriais e observação sobre ordem das operações.
- Combinando as duas etapas (primeiro tradução, depois escala), a operação total sobre
é - Substituindo
, e : - Observação importante (conceito útil para prova): tradução é uma operação afim (não linear se vista sozinha porque não preserva a origem), enquanto multiplicação por escalar é uma operação linear. A ordem importa se a escala é feita em relação à origem: escalar primeiro e depois traduzir dá um resultado diferente de traduzir primeiro e depois escalar. Exemplo rápido: escalar primeiro
e depois traduzir por dá , que é diferente de .
Passo 6
Resumo prático de como fazer em prova (sem calculadora) — passos diretos.
- Escreva os vetores:
, , . - Faça a soma componente a componente:
. - Multiplique cada componente por
: . - Responda e, se precisar, explique que a tradução é soma vetorial e a dilatação é multiplicação escalar em
.
Resposta
(a)
(b) Tradução por seguida de dilatação (multiplicação escalar) por
em relação à origem; em fórmulas vetoriais
.
(b) Tradução por