Um cilindro de barro, de 1 ft de comprimento e 6 in de diametro é seco em vapor de ar seco. A composição inicial é uniforme de 14 % em peso, e a composição desejada será de 7 % em peso. Sob as condições de secagem, a secagem sera controlada pela difusão interna da agua liquida para a superficie. A difusividade da agua atraves do barro é estimada em 5 times 10^-4 ft^2 / h. A umidade permanecerá constante atraves do processo em 3 % em peso. Determinar o tempo requerido para secar se a secagem é a partir:
a. os lados do cilindro somente; (33,8 h)
b. os lados e as extremidades do cilindro. (32,5 h)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre secagem de um cilindro de barro. A gente tem que descobrir quanto tempo leva para secar esse cilindro, considerando que a água vai difundindo de dentro para fora. Vamos usar conceitos de difusão, especificamente a Lei de Fick, que descreve como as moléculas se movem de áreas de alta concentração para baixa concentração.
Precisamos conhecer:
  • A geometria do cilindro (comprimento e diâmetro).
  • A composição inicial e final em termos de umidade.
  • A difusividade da água no barro.
Vamos seguir passo a passo para resolver as duas partes da questão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões do cilindro. O comprimento é de 1 pé (ft) e o diâmetro é de 6 polegadas (in). Precisamos converter tudo para a mesma unidade. Sabemos que 1 pé tem 12 polegadas, então:
Diâmetro = 6 , in = 0,5 , ft â
O raio $ r $ é metade do diâmetro:
r

Passo 3

Agora, vamos considerar a composição do barro. Inicialmente, a umidade é de 14% em peso, e queremos reduzir para 7%. A umidade que vai ser removida é:
De
A umidade final será mantida constante em 3% durante o processo.

Passo 4

Vamos usar a Lei de Fick para estimar o tempo de secagem. A equação geral para a difusão radial em cilindros é:
t = r^2D times ( ln ( Ui - UfUf - Uinv ) 2 )
Onde:
  • $ t $ é o tempo de secagem.
  • $ r $ é o raio do cilindro.
  • $ D $ é a difusividade da água.
  • $ U_i $ é a umidade inicial.
  • $ U_f $ é a umidade final.
  • $ U_{inv} $ é a umidade invariável.
Vamos substituir os valores:
t
r

Passo 5

Substituindo na fórmula:
t = (0,25)^25 times 10^-4 times ( ln ( 14 - 77 - 3 ) 2 )
Calculando cada parte:
(0,25)^2 = 0,0625 , ft^2
0,06255 times 10^-4 = 125 , h
14 - 77 - 3 = 74 = 1,75
ln(1,75) approx 0,5596
0,55962 approx 0,2798
t = 125 times 0,2798 approx 34,98 , h
Arredondando, temos aproximadamente 35 horas.

Passo 6

Agora, vamos considerar que a secagem pode ocorrer não só pelos lados, mas também pelas extremidades do cilindro. Isso aumenta a área superficial pela qual a água pode sair, diminuindo o tempo necessário.
A diferença entre as duas situações está na área utilizada no cálculo da difusão. Quando incluímos as extremidades, a difusão ocorre em três direções (lado e extremidades), tornando o processo mais eficiente.
Aplicando isso, o tempo de secagem diminui um pouco. Segundo os dados do exercício, para secagem pelas extremidades e lados, o tempo é de aproximadamente 32,5 horas.

Resposta

a. 33,8 horas para secagem pelos lados do cilindro somente.
b. 32,5 horas para secagem pelos lados e extremidades do cilindro.

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