Uma placa circular de cerâmica que pode ser modelada como um corpo negro está sendo aquecida por um aquecedor elétrico. A placa tem 30 cm de diâmetro e está situada em uma temperatura ambiente de 15^{\circ} \mathrm{C}, onde o coeficiente de transferência de calor por convecção natural é 12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. Se a eficiência do aquecedor elétrico para transferir calor para a placa é de 80 \%, determine a potência elétrica que o aquecedor precisa para manter a temperatura da superfície da placa em 200^{\circ} C. R. 37,13 W

Passo 1

O enunciado pede a potência elétrica necessária para manter uma placa circular de cerâmica (modelo corpo negro) em 200^\circ\mathrm{C}, num ambiente a 15^\circ\mathrm{C}. Há troca de calor por convecção natural (coeficiente h=12\;\mathrm{W/m^2K}) e por radiação (emissividade \varepsilon=1, constante de Stefan–Boltzmann \sigma=5{,}67\times10^{-8}\;\mathrm{W/m^2K^4}). A potência elétrica útil deve cobrir a soma das perdas por convecção e radiação; como o aquecedor tem 80\% de eficiência, a potência elétrica consumida é maior que a útil.

Passo 2

Calcular a área da placa e a diferença de temperatura para convecção:
r = \frac{30\;\mathrm{cm}}{2} = 0{,}15\;\mathrm{m}, \quad A = \pi r^2 = \pi\,(0{,}15)^2 \approx 0{,}0707\;\mathrm{m^2}, \quad \Delta T = 200 - 15 = 185\;\mathrm{K}.
A perda por convecção é
Q_{\mathrm{conv}} = h\,A\,\Delta T = 12 \times 0{,}0707 \times 185 \approx 156{,}9\;\mathrm{W}.

Passo 3

Calcular a perda por radiação usando temperaturas absolutas:
T_{\mathrm{placa}} = 200 + 273 = 473\;\mathrm{K}, \quad T_{\infty} = 15 + 273 = 288\;\mathrm{K}.
Então
Q_{\mathrm{rad}} = \varepsilon\,\sigma\,A\,(T_{\mathrm{placa}}^4 - T_{\infty}^4) = 1 \times 5{,}67\times10^{-8} \times 0{,}0707 \bigl(473^4 - 288^4\bigr).
Calculando
473^4 \approx 5{,}0055\times10^{10}, \quad 288^4 \approx 6{,}8812\times10^{9},
Q_{\mathrm{rad}} \approx 5{,}67\times10^{-8}\times0{,}0707\times(4{,}3174\times10^{10}) \approx 173{,}0\;\mathrm{W}.

Passo 4

Somando as perdas e ajustando pela eficiência do aquecedor:
Q_{\mathrm{total}} = Q_{\mathrm{conv}} + Q_{\mathrm{rad}} \approx 156{,}9 + 173{,}0 = 329{,}9\;\mathrm{W}.
Como só 80\% da potência elétrica chega à placa, a potência elétrica requerida é
P_{\mathrm{el}} = \frac{Q_{\mathrm{total}}}{0{,}80} \approx \frac{329{,}9}{0{,}8} \approx 412{,}4\;\mathrm{W}.

Resposta

A potência elétrica que o aquecedor precisa fornecer é aproximadamente 412{,}4\;\mathrm{W}.

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