Uma placa de 3 cm de espessura está, inicialmente a 25^{a} \mathrm{C} é submetida a um refrigerador mantido a 10^{a} \mathrm{C}. Deseja-se que a placa seja resfriada abaixo de 8^{a} \mathrm{C}, porém não abaixo de 2^{a} \mathrm{C} em qualquer ponto durante o resfriamento. O coeficiente de transferência de calor por convecção e, portanto, a taxa de transferência de calor a partir da placa podem ser controlados por meio da variação da velocidade da ventoinha de circulação que compõe o sistema de refrigeração. Determine o coeficiente de transferência de calor h que permitirá satisfazer ambas as restrições de temperatura e, ao mesmo tempo, manter o tempo de resfriamento no valor mínimo. A placa pode ser tratada como uma camada homogênea tendo as propriedades densidade =1.200 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3, \mathrm{cp}=4,10 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, \mathrm{k}=0,45 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, \mathrm{e} alpha =9,03 * 10^{\wedge} 8 \mathrm{~m} 2 / \mathrm{s}.

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado dá e o que se pede. Temos uma placa de espessura total 3\\ \mathrm{cm} (logo, meio­-espessura L=1{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}015\\ \mathrm{m}), propriedades homogêneas densidade \rho=1{,}200\\ \mathrm{kg/m^3}, c_p=4{,}10\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, k=0{,}45\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, \alpha= 9,03\times10^{-8}\\ \mathrm{m^2/s}.
Inicialmente T_i=25\,^\circ\mathrm C, o “refrigerador” está a T_\infty=10\,^\circ\mathrm C, e queremos resfriar até que a placa fique abaixo de 8\,^\circ\mathrm C, mas garantindo que nenhuma parte da placa chegue a 2\,^\circ\mathrm C. O que se pede é o valor do coeficiente de convecção h que minimize o tempo de resfriamento sujeitando-se simultaneamente a essas duas restrições de temperatura.

Passo 2

Analisando a física do problema, ao se resfriar pela convecção num fluido frio a T_\infty=10\,^\circ\mathrm C, a superfície da placa tende, ao longo do tempo, a aproximar‐se de T_\infty por cima. Ou seja, a temperatura em qualquer ponto da placa nunca pode ficar abaixo de T_\infty, pois o resfriamento convectivo não “superresfria” a placa abaixo da temperatura do fluido refrigerante.

Passo 3

Mas o enunciado quer que a placa atinja temperaturas abaixo de 8\,^\circ\mathrm C (isto é, T<8\,^\circ\mathrm C) enquanto o refrigerador está a 10\,^\circ\mathrm C. Isso é fisicamente impossível: não há valor de h (finito ou infinito) que faça a placa resfriar abaixo de T_\infty.

Resposta

Não existe coeficiente de transferência de calor h que satisfaça simultaneamente às condições do enunciado, pois se o fluido refrigerante está a 10\,^\circ\mathrm C, a placa não pode ser resfriada abaixo desse valor por convecção sozinho.

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