Um elétron penetra perpendicularmente em um campo magnético uniforme de módulo B=3,70 \mathrm{~T}, com energia cinética igual a K=25,6 \mathrm{eV}\left(1,0 \mathrm{eV}=1,6 \cdot 10^{-19}\right. J), executando uma trajetória circular uniforme. Considere desprezíveis os efeitos relativísticos.
(a) Determine o raio da trajetória circular descrita pela partícula.
(b) Calcule o período e a frequência do movimento circular.
  • Dado: A massa de um elétron é m_{e}=9,11 \cdot 10^{-31} \mathrm{~kg}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) o raio da trajetória circular descrita pelo elétron e (b) o período e a frequência do movimento circular.\n
Dados fornecidos (vou listar todos, com unidades):
B=3,70\\ \mathrm{T},
K=25,6\\ \mathrm{eV}=25,6\cdot 1,6\cdot10^{-19}\\ \mathrm{J},
m_e=9,11\cdot10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
Além disso, devemos considerar desprezíveis os efeitos relativísticos (ou seja, usar a fórmula clássica K=\tfrac{1}{2}mv^2). Não há outras informações ocultas.

Passo 2

Converter a energia cinética para joules e calcular a velocidade v a partir de K=\tfrac{1}{2}mv^2.\n
Primeiro a conversão:
K=25,6\\ \mathrm{eV}=25,6\cdot1,6\cdot10^{-19}\\ \mathrm{J}=4,096\cdot10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Agora usar a relação cinemática não-relativística:
K=\tfrac{1}{2}m_e v^2 \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\dfrac{2K}{m_e}}.
Substituindo os valores:
v=\sqrt{\dfrac{2\cdot 4,096\cdot10^{-18}}{9,11\cdot10^{-31}}} =\sqrt{\dfrac{8,192\cdot10^{-18}}{9,11\cdot10^{-31}}} =\sqrt{8,99\cdot10^{12}} \approx 2,998\cdot10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
(Arredondando convenientemente: v\approx 3,00\cdot10^{6}\\ \mathrm{m/s}.)\n
Breve explicação do que fiz: a fórmula K=\tfrac{1}{2}mv^2 vem da mecânica clássica — K é a energia cinética, m a massa e v a velocidade. Isolamos v e substituímos valores numéricos.

Passo 3

Determinar o raio da trajetória: relação entre força magnética e força centrípeta.\n
A força magnética (módulo) que atua num elétron que se move perpendicularmente ao campo é
F_B = q v B,
onde q é o módulo da carga da partícula ( q=e=1,6\cdot10^{-19}\\ \mathrm{C} para o elétron, usamos o módulo porque o sinal só afeta a direção do giro, não o raio), v é a velocidade e B o campo magnético. Essa força atua perpendicularmente à velocidade e fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular:
F_{\mathrm{cen}}=\dfrac{m_e v^2}{r}.
Igualando as duas (pois a força magnética é a centrípeta):
q v B = \dfrac{m_e v^2}{r}.
Isolando o raio r:
r=\dfrac{m_e v}{q B}.
Agora substituímos números usando v já calculado e q=e:
r=\dfrac{9,11\cdot10^{-31}\cdot 2,998\cdot10^{6}}{1,6\cdot10^{-19}\cdot 3,70}.
Calcule passo a passo os numeradores e denominadores:
\text{numerador}=9,11\cdot 2,998\cdot10^{-31+6}=27,31\cdot10^{-25}=2,731\cdot10^{-24},
\text{denominador}=1,6\cdot3,70\cdot10^{-19}=5,92\cdot10^{-19}.
Portanto
r=\dfrac{2,731\cdot10^{-24}}{5,92\cdot10^{-19}}=0,4613\cdot10^{-5}=4,613\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Arredondando com número razoável de algarismos significativos:
r\approx 4,61\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m}=4,61\\ \mu\mathrm{m}.
Comentário didático: a fórmula r=\dfrac{m v}{q B} é muito usada em problemas de partículas em campos magnéticos — mostra que o raio cresce com velocidade e massa, e diminui com carga e intensidade do campo.

Passo 4

Calcular o período T e a frequência f do movimento circular.\n
Uma forma direta é usar a frequência ciclotrônica (angular): a velocidade angular \omega é dada por
\omega=\dfrac{q B}{m_e}.
O período é T=\dfrac{2\pi}{\omega}, portanto
T=\dfrac{2\pi m_e}{q B}.
Observe que T não depende da velocidade inicial — é uma propriedade do par partícula/campo (na aproximação clássica). Substituindo valores:
T=\dfrac{2\pi\cdot 9,11\cdot10^{-31}}{1,6\cdot10^{-19}\cdot 3,70}.
Calcule o numerador:
2\pi\cdot 9,11\cdot10^{-31}\approx 6,283185\cdot9,11\cdot10^{-31}\approx 5,724\cdot10^{-30}.
Denominador já tínhamos: 1,6\cdot3,70\cdot10^{-19}=5,92\cdot10^{-19}. Então
T=\dfrac{5,724\cdot10^{-30}}{5,92\cdot10^{-19}}=0,967\cdot10^{-11}=9,67\cdot10^{-12}\\ \mathrm{s}.
Agora a frequência:
f=\dfrac{1}{T}\approx \dfrac{1}{9,67\cdot10^{-12}\\ \mathrm{s}}\approx 1,03\cdot10^{11}\\ \mathrm{Hz}.
(Alternativamente, f=\dfrac{qB}{2\pi m_e}, que dá o mesmo resultado.)\n
Breve explicação: T é o tempo que a partícula leva para completar uma volta; f é quantas voltas por segundo. A expressão T=2\pi m/(qB) é útil porque dispensa o cálculo de v quando queremos só o período.

Passo 5

Verificação rápida da hipótese não-relativística e finalizando com um comentário de tranquilidade.\n
Comparando v com a velocidade da luz c\approx 3,00\cdot10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
\dfrac{v}{c}\approx \dfrac{3,00\cdot10^{6}}{3,00\cdot10^{8}}=0,01,
ou seja, v é apenas cerca de 1\% de c. Portanto a hipótese de desprezar efeitos relativísticos está bem justificada.\n
Pronto — calculamos passo a passo: velocidade a partir de K, raio pela igualdade entre força magnética e centrípeta, e período/frequência pela relação ciclotrônica. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia!

Resposta

r=4,61\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m}\n
T=9,67\cdot10^{-12}\\ \mathrm{s}\n
f=1,03\cdot10^{11}\\ \mathrm{Hz}

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