Um elétron penetra perpendicularmente em um campo magnético uniforme de módulo
, com energia cinética igual a
J), executando uma trajetória circular uniforme. Considere desprezíveis os efeitos relativísticos.
(a) Determine o raio da trajetória circular descrita pela partícula.
(b) Calcule o período e a frequência do movimento circular.
- Dado: A massa de um elétron é
.
(a) Determine o raio da trajetória circular descrita pela partícula.
(b) Calcule o período e a frequência do movimento circular.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) o raio da trajetória circular descrita pelo elétron e (b) o período e a frequência do movimento circular.\n
Dados fornecidos (vou listar todos, com unidades):
Dados fornecidos (vou listar todos, com unidades):
Além disso, devemos considerar desprezíveis os efeitos relativísticos (ou seja, usar a fórmula clássica
). Não há outras informações ocultas.
Passo 2
Converter a energia cinética para joules e calcular a velocidade
a partir de
.\n
Primeiro a conversão:
Primeiro a conversão:
Agora usar a relação cinemática não-relativística:
Substituindo os valores:
(Arredondando convenientemente:
.)\n
Breve explicação do que fiz: a fórmula vem da mecânica clássica —
é a energia cinética,
a massa e
a velocidade. Isolamos
e substituímos valores numéricos.
Breve explicação do que fiz: a fórmula
Passo 3
Determinar o raio da trajetória: relação entre força magnética e força centrípeta.\n
A força magnética (módulo) que atua num elétron que se move perpendicularmente ao campo é
A força magnética (módulo) que atua num elétron que se move perpendicularmente ao campo é
onde
é o módulo da carga da partícula (
para o elétron, usamos o módulo porque o sinal só afeta a direção do giro, não o raio),
é a velocidade e
o campo magnético. Essa força atua perpendicularmente à velocidade e fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular:
Igualando as duas (pois a força magnética é a centrípeta):
Isolando o raio
:
Agora substituímos números usando
já calculado e
:
Calcule passo a passo os numeradores e denominadores:
Portanto
Arredondando com número razoável de algarismos significativos:
Comentário didático: a fórmula
é muito usada em problemas de partículas em campos magnéticos — mostra que o raio cresce com velocidade e massa, e diminui com carga e intensidade do campo.
Passo 4
Calcular o período
e a frequência
do movimento circular.\n
Uma forma direta é usar a frequência ciclotrônica (angular): a velocidade angular é dada por
Uma forma direta é usar a frequência ciclotrônica (angular): a velocidade angular
O período é
, portanto
Observe que
não depende da velocidade inicial — é uma propriedade do par partícula/campo (na aproximação clássica). Substituindo valores:
Calcule o numerador:
Denominador já tínhamos:
. Então
Agora a frequência:
(Alternativamente,
, que dá o mesmo resultado.)\n
Breve explicação: é o tempo que a partícula leva para completar uma volta;
é quantas voltas por segundo. A expressão
é útil porque dispensa o cálculo de
quando queremos só o período.
Breve explicação:
Passo 5
Verificação rápida da hipótese não-relativística e finalizando com um comentário de tranquilidade.\n
Comparando com a velocidade da luz
:
Comparando
ou seja,
é apenas cerca de
de
. Portanto a hipótese de desprezar efeitos relativísticos está bem justificada.\n
Pronto — calculamos passo a passo: velocidade a partir de , raio pela igualdade entre força magnética e centrípeta, e período/frequência pela relação ciclotrônica. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia!
Pronto — calculamos passo a passo: velocidade a partir de