Uma placa de espessura L=0.10 \mathrm{~m} gera calor volumétrico uniforme \dot{q}=2 \times 10^{5} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}. As duas faces são mantidas à mesma temperatura T_{s}=50^{\circ} \mathrm{C}. a) Mostre que a distribuição de temperatura é dada por:
b) Determine a temperatura máxima e a posição onde ela ocorre. (Resposta: T_{\max }= \left.T_{s}+\frac{\dot{q} L^{2}}{8 k}\right)
Passo 1
O enunciado dá uma placa de espessura \,L=0{,}10\\ \mathrm{m}\, que gera calor volumétrico uniforme \,\dot{q}=2\times10^{5}\\ \mathrm{W/m^{3}}\,. As duas faces da placa são mantidas à mesma temperatura \,T_{s}=50^\circ\mathrm{C}\,. Pede-se:
mostrar a distribuição de temperatura T(x) através da espessura;
determinar a temperatura máxima e a posição onde ela ocorre.
Informações relevantes fornecidas: \,\dot{q} (geração volumétrica constante), \,L (espessura total), \,T_s (temperatura nas duas faces iguais).
Observação sobre a coordenada: usaremos x medindo a partir do plano médio da placa, de modo que as faces estão em x=\pm L/2.
Passo 2
Escrevendo o balanço de energia para condução unidimensional, estado estacionário e condutividade térmica k constante, a equação diferencial geral é:
Explicando: o termo k\,dT/dx é o fluxo de calor por condução (lei de Fourier) e \dot{q} é a geração volumétrica; em regime estacionário, a divergência do fluxo mais a geração deve ser zero. Como k é constante, simplificamos para:
k\frac{d^{2}T}{dx^{2}}+\dot{q}=0.
Passo 3
Isolando a derivada segunda:
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=-\frac{\dot{q}}{k}.
Agora integramos com respeito a x uma vez. A integral de uma constante é uma função linear; introduzimos uma constante de integração C_{1}:
\frac{dT}{dx}=-\frac{\dot{q}}{k}\,x+C_{1}.
Interpretação física: \,dT/dx está relacionado ao fluxo térmico; C_{1} será determinado pelas condições de simetria/contorno.
Passo 4
Integramos novamente para obter T(x). A integral de -(\dot{q}/k)x é -(\dot{q}/2k)x^{2}, e surge outra constante de integração C_{2}:
T(x)=-\frac{\dot{q}}{2k}\,x^{2}+C_{1}x+C_{2}.
Aqui C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições de contorno.
Passo 5
Usamos a simetria do problema: as duas faces têm a mesma temperatura \,T_s, logo o perfil de temperatura é simétrico em relação ao plano médio x=0. Por simetria, a inclinação no centro deve ser zero: