Uma placa de espessura L=0.10 \mathrm{~m} gera calor volumétrico uniforme \dot{q}=2 \times 10^{5} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}. As duas faces são mantidas à mesma temperatura T_{s}=50^{\circ} \mathrm{C}. a) Mostre que a distribuição de temperatura é dada por:
T(x)=\frac{\dot{q}}{2 k}\left(\frac{L^{2}}{4}-x^{2}\right)+T_{s}
b) Determine a temperatura máxima e a posição onde ela ocorre. (Resposta: T_{\max }= \left.T_{s}+\frac{\dot{q} L^{2}}{8 k}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma placa de espessura \,L=0{,}10\\ \mathrm{m}\, que gera calor volumétrico uniforme \,\dot{q}=2\times10^{5}\\ \mathrm{W/m^{3}}\,. As duas faces da placa são mantidas à mesma temperatura \,T_{s}=50^\circ\mathrm{C}\,. Pede-se:
  1. mostrar a distribuição de temperatura T(x) através da espessura;
  2. determinar a temperatura máxima e a posição onde ela ocorre.
Informações relevantes fornecidas:
\,\dot{q} (geração volumétrica constante), \,L (espessura total), \,T_s (temperatura nas duas faces iguais).
Observação sobre a coordenada: usaremos x medindo a partir do plano médio da placa, de modo que as faces estão em x=\pm L/2.

Passo 2

Escrevendo o balanço de energia para condução unidimensional, estado estacionário e condutividade térmica k constante, a equação diferencial geral é:
\frac{d}{dx}\!\left(k\frac{dT}{dx}\right)+\dot{q}=0.
Explicando: o termo k\,dT/dx é o fluxo de calor por condução (lei de Fourier) e \dot{q} é a geração volumétrica; em regime estacionário, a divergência do fluxo mais a geração deve ser zero. Como k é constante, simplificamos para:
k\frac{d^{2}T}{dx^{2}}+\dot{q}=0.

Passo 3

Isolando a derivada segunda:
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=-\frac{\dot{q}}{k}.
Agora integramos com respeito a x uma vez. A integral de uma constante é uma função linear; introduzimos uma constante de integração C_{1}:
\frac{dT}{dx}=-\frac{\dot{q}}{k}\,x+C_{1}.
Interpretação física: \,dT/dx está relacionado ao fluxo térmico; C_{1} será determinado pelas condições de simetria/contorno.

Passo 4

Integramos novamente para obter T(x). A integral de -(\dot{q}/k)x é -(\dot{q}/2k)x^{2}, e surge outra constante de integração C_{2}:
T(x)=-\frac{\dot{q}}{2k}\,x^{2}+C_{1}x+C_{2}.
Aqui C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições de contorno.

Passo 5

Usamos a simetria do problema: as duas faces têm a mesma temperatura \,T_s, logo o perfil de temperatura é simétrico em relação ao plano médio x=0. Por simetria, a inclinação no centro deve ser zero:
\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=0.
Usando a expressão de \,dT/dx do Passo 3:
\left.-\frac{\dot{q}}{k}x+C_{1}\right|_{x=0}=0 \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=0.
Assim o termo linear desaparece e o perfil fica par (simétrico).

Passo 6

Aplicamos a condição de contorno em uma face. A face localizada em x=+L/2 tem temperatura T_{s}:
T\!\left(\frac{L}{2}\right)=T_{s}.
Substituindo C_{1}=0 e x=L/2 na expressão de T(x):
T_{s}=-\frac{\dot{q}}{2k}\left(\frac{L}{2}\right)^{2}+C_{2}.
Calculamos \left(\frac{L}{2}\right)^{2}=\frac{L^{2}}{4}, então:
T_{s}=-\frac{\dot{q}}{2k}\cdot\frac{L^{2}}{4}+C_{2} \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=T_{s}+\frac{\dot{q}}{2k}\cdot\frac{L^{2}}{4}.

Passo 7

Substituímos C_{1}=0 e o valor de C_{2} na expressão geral de T(x):
T(x)=-\frac{\dot{q}}{2k}\,x^{2}+T_{s}+\frac{\dot{q}}{2k}\cdot\frac{L^{2}}{4}.
Agrupando os termos com \dot{q}/(2k) obtemos a forma pedida:
T(x)=\frac{\dot{q}}{2k}\!\left(\frac{L^{2}}{4}-x^{2}\right)+T_{s}.
Isso mostra a distribuição de temperatura solicitada. Observação rápida de unidade: \dot{q}L^{2}/(2k) tem dimensão de temperatura, como esperado.

Passo 8

Para achar a temperatura máxima, usamos que no interior o máximo ocorre quando a derivada é zero. Da expressão de \,dT/dx com C_{1}=0:
\frac{dT}{dx}=-\frac{\dot{q}}{k}\,x.
Igualando a zero dá x=0. Portanto a temperatura máxima está no plano médio x=0. Avaliando T(0) na fórmula do Passo 7:
T_{\max}=T(0)=\frac{\dot{q}}{2k}\!\left(\frac{L^{2}}{4}-0^{2}\right)+T_{s} = T_{s}+\frac{\dot{q}}{2k}\cdot\frac{L^{2}}{4}.
Simplificando o fator:
T_{\max}=T_{s}+\frac{\dot{q}\,L^{2}}{8k},
como pedido.

Resposta

T(x)=\frac{\dot{q}}{2k}\!\left(\frac{L^{2}}{4}-x^{2}\right)+T_{s}
T_{\max}=T_{s}+\frac{\dot{q}\,L^{2}}{8k}\quad\text{ocorre em}\quad x=0

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