Um tubo oco tem raio interno r_{1}=0.02 \mathrm{~m} e raio externo r_{2}=0.04 \mathrm{~m}. As temperaturas das superfícies são T_{s 1}=80^{\circ} \mathrm{C} e T_{s 2}=40^{\circ} \mathrm{C}, e k=1.5 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}. a) Determine a taxa de calor por unidade de comprimento q^{\prime}. b) Obtenha a distribuição de temperatura T(r). (Resposta: \left.\quad q^{\prime}=\frac{2 \pi k\left(T_{s 1}-T_{s 2}\right)}{\ln \left(r_{2} / r_{1}\right)}=3265 \mathrm{~W} / \mathrm{m}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determine a taxa de calor por unidade de comprimento q' através da parede cilíndrica oca.
  2. Obtenha a distribuição de temperatura T(r) no material entre os raios interno e externo.
Dados fornecidos:
r_1 = 0,02\\ \mathrm{m},\qquad r_2 = 0,04\\ \mathrm{m},
T_{s1} = 80^\circ\mathrm{C},\qquad T_{s2} = 40^\circ\mathrm{C},
k = 1{,}5\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Aqui q' é a taxa de calor que atravessa a parede por unidade de comprimento axial (unidade: \mathrm{W/m}), e T(r) é a temperatura no ponto a distância r do eixo.

Passo 2

Entender a física e estabelecer as equações fundamentais (aulas rápidas e práticas).
  • Em regime estacionário e com simetria angular e axial, o fluxo de calor é puramente radial e constante por seção cilíndrica coaxial.
  • A lei de Fourier para condução radial fornece a relação entre gradiente de temperatura e fluxo de calor. Para um cilindro, a potência térmica que passa através de uma superfície cilíndrica de raio r e comprimento unitário é
q' = -\,k\,( \text{área} )\,\frac{dT}{dr}.á
  • A área lateral da casca cilíndrica de raio r e comprimento unitário é 2\pi r. Logo a equação relacionando q' e o gradiente radial é
q' = -\,k\,2\pi r\,\frac{dT}{dr}.
Explicando cada símbolo:
\;q' = calor por unidade de comprimento (W/m),
\;k = condutividade térmica (W/mK),
\;r = coordenada radial (m),
\;\dfrac{dT}{dr} = derivada da temperatura em relação a r (K/m).
Sinal: o negativo indica que, se a temperatura diminui com r, o fluxo é no sentido radial para fora positivo.

Passo 3

Obter a equação diferencial para T(r).
A partir de
q' = -\,2\pi k r\,\frac{dT}{dr},
isolamos o derivado:
\frac{dT}{dr} = -\,\frac{q'}{2\pi k}\,\frac{1}{r}.
Esta é uma equação diferencial ordinária simples separável em r.

Passo 4

Integrar a equação diferencial para achar a solução geral T(r).
Integramos em r:
\int dT = -\,\frac{q'}{2\pi k}\int \frac{1}{r}\,dr.
A integral de 1/r é o logaritmo natural, portanto
T(r) = -\,\frac{q'}{2\pi k}\,\ln r + C,
onde C é uma constante de integração. Podemos reescrever de forma mais prática como
T(r) = C - \frac{q'}{2\pi k}\ln r.

Passo 5

Aplicar as condições de contorno para determinar q' e C.
Usamos T(r_1)=T_{s1} e T(r_2)=T_{s2}. Assim temos o sistema
T_{s1} = C - \frac{q'}{2\pi k}\ln r_1,
T_{s2} = C - \frac{q'}{2\pi k}\ln r_2.
Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar C:
T_{s1}-T_{s2} = -\frac{q'}{2\pi k}\bigl(\ln r_1 - \ln r_2\bigr).
Usando propriedade dos logaritmos \ln r_1 - \ln r_2 = \ln\!\bigl(r_1/r_2\bigr) = -\ln\!\bigl(r_2/r_1\bigr), obtemos
T_{s1}-T_{s2} = \frac{q'}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right).
Isolando q':
q' = \frac{2\pi k\bigl(T_{s1}-T_{s2}\bigr)}{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}.
Esta é a fórmula clássica para condução radial em uma casca cilíndrica — memorize: a queda de temperatura aparece dividida pelo logaritmo da razão dos raios.

Passo 6

Calcular numericamente q' usando os valores dados.
Primeiro calculemos os termos:
T_{s1}-T_{s2} = 80-40 = 40\\ \mathrm{K},
\frac{r_2}{r_1}=\frac{0{,}04}{0{,}02}=2,\qquad \ln 2 \approx 0{,}693147,
2\pi k (T_{s1}-T_{s2}) = 2\pi\cdot 1{,}5\cdot 40 = 120\pi \approx 120\cdot 3{,}14159 \approx 376{,}991.
Agora
q' = \frac{376{,}991}{0{,}693147}\approx 543{,}8\\ \mathrm{W/m}.
Arredondando de forma razoável (3 algarismos significativos), q'\approx 544\\ \mathrm{W/m}. Note que o resultado está em \mathrm{W/m} porque calculamos a taxa de calor por unidade de comprimento axial.

Passo 7

Determinar a constante C e escrever a expressão final para T(r) (distribuição de temperatura).
Da equação anterior para C,
C = T_{s1} + \frac{q'}{2\pi k}\ln r_1.
Substituindo C em T(r)=C-\dfrac{q'}{2\pi k}\ln r resulta
T(r) = T_{s1} + \frac{q'}{2\pi k}\bigl(\ln r_1 - \ln r\bigr).
Usando propriedades dos logaritmos:
T(r) = T_{s1} - \frac{q'}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r}{r_1}\right).
Podemos também substituir q'/(2\pi k)=\dfrac{T_{s1}-T_{s2}}{\ln(r_2/r_1)} para expressar T(r) sem q':
T(r) = T_{s1} - \bigl(T_{s1}-T_{s2}\bigr)\,\frac{\ln\!\left(\dfrac{r}{r_1}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}.
Esta forma é conveniente: é uma interpolação linear em \ln r entre T_{s1} e T_{s2}. Verifique mentalmente: para r=r_1 o segundo termo é zero e T=T_{s1}; para r=r_2 o fator de fração torna-se 1 e T=T_{s2} — perfeito.

Passo 8

Resumo numérico final (valores práticos).
  • Valor numérico calculado: q'\approx 544\\ \mathrm{W/m}.
  • Distribuição de temperatura (exata, em termos dos dados):
T(r)=80^\circ\mathrm{C}-40^\circ\mathrm{C}\,\frac{\ln\!\left(\dfrac{r}{0{,}02}\right)}{\ln 2}.
Você pode usar essa fórmula para obter T em qualquer r\in[0{,}02,0{,}04].

Resposta

q'=\dfrac{2\pi k\bigl(T_{s1}-T_{s2}\bigr)}{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}\approx 544\\ \mathrm{W/m}\n
T(r)=T_{s1}-\bigl(T_{s1}-T_{s2}\bigr)\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{r}{r_1}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}=80^\circ\mathrm{C}-40^\circ\mathrm{C}\,\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{r}{0{,}02}\right)}{\ln 2}

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