Um tubo oco tem raio interno
e raio externo
. As temperaturas das superfícies são
e
, e
. a) Determine a taxa de calor por unidade de comprimento
. b) Obtenha a distribuição de temperatura
. (Resposta:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determine a taxa de calor por unidade de comprimento
através da parede cilíndrica oca. - Obtenha a distribuição de temperatura
no material entre os raios interno e externo.
Dados fornecidos:
Aqui
é a taxa de calor que atravessa a parede por unidade de comprimento axial (unidade:
), e
é a temperatura no ponto a distância
do eixo.
Passo 2
Entender a física e estabelecer as equações fundamentais (aulas rápidas e práticas).
- Em regime estacionário e com simetria angular e axial, o fluxo de calor é puramente radial e constante por seção cilíndrica coaxial.
- A lei de Fourier para condução radial fornece a relação entre gradiente de temperatura e fluxo de calor. Para um cilindro, a potência térmica que passa através de uma superfície cilíndrica de raio
e comprimento unitário é
- A área lateral da casca cilíndrica de raio
e comprimento unitário é . Logo a equação relacionando e o gradiente radial é
Explicando cada símbolo:
= calor por unidade de comprimento (W/m),
= condutividade térmica (W/mK),
= coordenada radial (m),
= derivada da temperatura em relação a
(K/m).
Sinal: o negativo indica que, se a temperatura diminui com , o fluxo é no sentido radial para fora positivo.
Sinal: o negativo indica que, se a temperatura diminui com
Passo 3
Obter a equação diferencial para
.
A partir de
A partir de
isolamos o derivado:
Esta é uma equação diferencial ordinária simples separável em
.
Passo 4
Integrar a equação diferencial para achar a solução geral
.
Integramos em :
Integramos em
A integral de
é o logaritmo natural, portanto
onde
é uma constante de integração. Podemos reescrever de forma mais prática como
Passo 5
Aplicar as condições de contorno para determinar
e
.
Usamos e
. Assim temos o sistema
Usamos
Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar
:
Usando propriedade dos logaritmos
, obtemos
Isolando
:
Esta é a fórmula clássica para condução radial em uma casca cilíndrica — memorize: a queda de temperatura aparece dividida pelo logaritmo da razão dos raios.
Passo 6
Calcular numericamente
usando os valores dados.
Primeiro calculemos os termos:
Primeiro calculemos os termos:
Agora
Arredondando de forma razoável (3 algarismos significativos),
. Note que o resultado está em
porque calculamos a taxa de calor por unidade de comprimento axial.
Passo 7
Determinar a constante
e escrever a expressão final para
(distribuição de temperatura).
Da equação anterior para ,
Da equação anterior para
Substituindo
em
resulta
Usando propriedades dos logaritmos:
Podemos também substituir
para expressar
sem
:
Esta forma é conveniente: é uma interpolação linear em
entre
e
. Verifique mentalmente: para
o segundo termo é zero e
; para
o fator de fração torna-se 1 e
— perfeito.
Passo 8
Resumo numérico final (valores práticos).
- Valor numérico calculado:
. - Distribuição de temperatura (exata, em termos dos dados):
Você pode usar essa fórmula para obter
em qualquer
.