Uma placa fina cobre a região triangular limitada pelo eixo- x e pelas retas x=1 e y=2 x no primeiro quadrante. A densidade da placa no ponto (x, y) é rho(x, y)=6 x+6 y+6. Encontre a massa da placa e o centro de massa do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma placa fina que ocupa uma região triangular no primeiro quadrante, limitada pelo eixo , pela reta e pela reta . A densidade da placa em cada ponto é dada por . Nosso objetivo é encontrar a massa total da placa e o centro de massa do sistema.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais duplas, que nos ajudam a somar pequenas partes da placa para encontrar a massa total e o centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a massa da placa. A massa M = integral duplaA rho(x, y) , dA pode ser calculada integrando a densidade sobre toda a área da placa. Então, temos:
Onde é a região triangular limitada pelas retas mencionadas.

Passo 3

Vamos definir os limites de integração para a nossa região triangular. Observando as retas:
  • M = integral0^1 integral0^2x (6x + 6y + 6) , dy , dx varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de , varia de 0 até .
Então, podemos escrever a integral dupla como:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a integral0^2x (6x + 6y + 6) , dy = integral0^2x 6x , dy + integral0^2x 6y , dy + integral0^2x 6 , dy :
= 6x cdot y |0^2x + 3y^2 |0^2x + 6y |0^2x
Calculando cada parte:
= 6x (2x) + 3(2x)^2 + 6(2x) = 12x^2 + 12x^2 + 12x = 24x^2 + 12x
Substituindo os limites:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a M = integral0^1 (24x^2 + 12x) , dx = integral0^1 24x^2 , dx + integral0^1 12x , dx :
= 8x^3 |0^1 + 6x^2 |0^1 = 8(1)^3 + 6(1)^2 = 8 + 6 = 14
Calculando cada parte:

Passo 6

Agora que temos a massa barx = 1M integral duplaA x rho(x, y) , dA , vamos encontrar o centro de massa bary = 1M integral duplaA y rho(x, y) , dA . As coordenadas do centro de massa são dadas por:
Vamos calcular primeiro.

Passo 7

Calculando barx = 114 integral0^1 integral0^2x x (6x + 6y + 6) , dy , dx :
integral0^2x x (6x + 6y + 6) , dy = x integral0^2x (6x + 6y + 6) , dy = x (24x^2 + 12x) = 24x^3 + 12x^2
Vamos resolver a integral interna:
barx = 114 integral0^1 (24x^3 + 12x^2) , dx = 114 (6x^4 + 4x^3 |0^1) = 114 (6 + 4) = 1014 = 57 approx 0,714
Agora, integrando em relação a :

Passo 8

Agora, vamos calcular bary = 114 integral0^1 integral0^2x y (6x + 6y + 6) , dy , dx :
integral0^2x y (6x + 6y + 6) , dy = 6x integral0^2x y , dy + 6 integral0^2x y^2 , dy + 6 integral0^2x y , dy
Resolvendo a integral interna:
= 6x ( y^22 |0^2x ) + 6 ( y^33 |0^2x ) + 6 ( y^22 |0^2x )
= 6x ( (2x)^22 ) + 6 ( (2x)^33 ) + 6 ( (2x)^22 )
= 6x cdot 2x^2 + 6 cdot 8x^33 + 6 cdot 2x^2 = 12x^3 + 16x^3 + 12x^2 = 28x^3 + 12x^2
bary = 114 integral0^1 (28x^3 + 12x^2) , dx = 114 (7x^4 + 4x^3 |0^1) = 114 (7 + 4) = 1114 approx 0,786
Integrando em relação a :

Resposta

A massa da placa é unidades de massa e o centro de massa está localizado no ponto ou aproximadamente .

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