Uma placa fina cobre a região triangular limitada pelo eixo- e pelas retas e no primeiro quadrante. A densidade da placa no ponto é . Encontre a massa da placa e o centro de massa do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma placa fina que ocupa uma região triangular no primeiro quadrante, limitada pelo eixo , pela reta e pela reta . A densidade da placa em cada ponto é dada por . Nosso objetivo é encontrar a massa total da placa e o centro de massa do sistema.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais duplas, que nos ajudam a somar pequenas partes da placa para encontrar a massa total e o centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a massa da placa. A massa pode ser calculada integrando a densidade sobre toda a área da placa. Então, temos:
Onde é a região triangular limitada pelas retas mencionadas.
Passo 3
Vamos definir os limites de integração para a nossa região triangular. Observando as retas:
varia de 0 a 1.
Para cada valor de , varia de 0 até .
Então, podemos escrever a integral dupla como:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a :
Calculando cada parte:
Substituindo os limites:
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a M = integral0^1 (24x^2 + 12x) , dx = integral0^1 24x^2 , dx + integral0^1 12x , dx :
Agora que temos a massa barx = 1M integral duplaA x rho(x, y) , dA , vamos encontrar o centro de massa bary = 1M integral duplaA y rho(x, y) , dA . As coordenadas do centro de massa são dadas por:
Vamos calcular primeiro.
Passo 7
Calculando barx = 114 integral0^1 integral0^2x x (6x + 6y + 6) , dy , dx :
integral0^2x x (6x + 6y + 6) , dy = x integral0^2x (6x + 6y + 6) , dy = x (24x^2 + 12x) = 24x^3 + 12x^2