Calcule as seguintes integrais impróprias, ou mostre que são divergentes
(k) integral0^infty tan^2(y) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral0^infty tan^2(y),dy. Vamos usar conceitos de integrais impróprias (limites em pontos de singularidade ou infinity) e a identidade trigonométrica tan^2(y)=sec^2(y)-1 para seguir com a resolução.

Passo 2

A função tan^2(y) tem singularidades onde tan(y) não é definido, ou seja, em y=tfracpi2+kpi. Para ver se a integral diverge já basta olhar para o primeiro intervalo problemático [0,tfracpi2). Definimos a integral imprópria nesse intervalo como limbtopi2^-integral0^btan^2(y),dy.
Usando a identidade tan^2(y)=sec^2(y)-1, temos
integral tan^2(y),dy=integral l(sec^2(y)-1r),dy=integral sec^2(y),dy-integral 1,dy=tan(y)-y+C

Passo 3

Agora avaliamos o limite na borda do intervalo:
limbtopi2^-l[tan(y)-yr]0^b=limbtopi2^-l(tan(b)-br)-l(tan(0)-0r)=limbtopi2^-tan(b)-b
Como tan(b)to+infty quando btotfracpi2^-, esse limite é infinito. Logo a integral no primeiro intervalo já diverge, e por isso
integral0^inftytan^2(y),dy diverge.

Resposta

A integral diverge

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