1. Uma placa fina e larga, colocada no meio de uma fenda de altura e largura ’ h ’ preenchida com óleo de viscosidade \mu_{0}, é puxada com velocidade v_{0}. Trocando esse óleo por outro de viscosidade \mu_{1}, menor, verifica-se que, para a mesma velocidade v_{0}, a força de arrasto será idêntica à anterior somente se a placa for colocada assimetricamente na fenda, mantendo-se ainda paralela às paredes. Relacionar \mu_{1} e \mu_{0} com a distância a entre a placa e a parede mais próxima da fenda e a altura h da fenda. Considerar desprezível a espessura da placa fina.

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento tipo Couette entre duas paredes paralelas separadas por distância h, com uma placa fina no meio. Primeiro, com óleo de viscosidade \mu_{0}$, a placa está centrada \(d_{1}=d_{2}=h/2 e é arrastada à velocidade v_{0}. Depois, troca-se para óleo de viscosidade \mu_{1} e desloca-se a placa de modo assimétrico, ficando a distância a de uma parede e h-a da outra, mantendo-a paralela e com a mesma velocidade v_{0}. Queremos achar a relação entre \mu_{1}, \mu_{0}, a e h que garanta a mesma força de arrasto.
Para resolver, precisamos da fórmula da tensão de cisalhamento em escoamento laminar entre placas planas (Couette):
\tau = \mu\,\frac{\Delta v}{\Delta y},
e lembrar que o arrasto total é a soma das tensões em cada face da placa vezes a área.)

Passo 2

Calcular a força de arrasto com óleo de viscosidade \mu_{0} e placa centrada.
Cada folga tem espessura
d_{1}=d_{2}=\frac{h}{2}.
A taxa de cisalhamento em cada lado é
\frac{\Delta v}{\Delta y} =\frac{v_{0}}{h/2} =\frac{2\,v_{0}}{h},
então a tensão numa face é
\tau_{\rm face} =\mu_{0}\,\frac{2\,v_{0}}{h}.
Como há duas faces, a força total por área A é
F_{0} =A\bigl(\tau_{\rm face}^{\rm cima}+\tau_{\rm face}^{\rm baixo}\bigr) =A\cdot2\mu_{0}\,\frac{2\,v_{0}}{h} =A\,\frac{4\,\mu_{0}\,v_{0}}{h}.

Passo 3

Calcular a força de arrasto com óleo de viscosidade \mu_{1} e placa deslocada.
As espessuras das folgas passam a ser
d_{1}=a, \quad d_{2}=h-a.
As taxas de cisalhamento são
\frac{v_{0}}{a} \quad\text{e}\quad \frac{v_{0}}{h-a},
portanto as tensões são
\tau_{1} =\mu_{1}\,\frac{v_{0}}{a}, \quad \tau_{2} =\mu_{1}\,\frac{v_{0}}{h-a}.
Somando nas duas faces, a força total por área A é
F_{1} =A\bigl(\tau_{1}+\tau_{2}\bigr) =A\,\mu_{1}\,v_{0}\Bigl(\frac{1}{a}+\frac{1}{h-a}\Bigr) =A\,\mu_{1}\,v_{0}\,\frac{h}{a(h-a)}.

Passo 4

Impor igualdade das forças F_{1}=F_{0} para obter a relação entre viscosidades:
A\,\mu_{1}\,v_{0}\,\frac{h}{a(h-a)} = A\,\frac{4\,\mu_{0}\,v_{0}}{h}.
Cancelando A e v_{0}, vem
\mu_{1}\,\frac{h}{a(h-a)} = \frac{4\,\mu_{0}}{h},
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\frac{\mu_{1}}{\mu_{0}} = \frac{4\,a(h-a)}{h^{2}}.

Resposta

\mu_{1} = \mu_{0}\,\frac{4\,a(h-a)}{h^{2}} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\mu_{1}}{\mu_{0}} = \frac{4\,a(h-a)}{h^{2}}.

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