Uma placa com a forma de um triângulo isósceles, com espessura insignificante, tem sua base diminuindo 3 mm por hora e sua altura aumentando 5 mm por minuto. Determine a taxa com que a área varia no instante em que os três lados estiverem medindo simultaneamente 10 cm .
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um triângulo isósceles de base diminuindo a 3 mm/h e altura crescendo a 5 mm/min. Queremos a taxa de variação da área no instante em que todos os lados medem 10 cm. O conteúdo aqui é taxa relacionada envolvendo a área de um triângulo.
Passo 2
Antes de derivar, vamos organizar as variáveis e as unidades. A área do triângulo é dada por
Como vamos usar taxas em mm/min, convertemos a variação da base para mm/min:
Passo 3
No instante pedido o triângulo é equilátero (base = lado = 10 cm). Convertendo para mm:
A altura de um triângulo equilátero de lado
E foi dado
Passo 4
Diferenciando a fórmula da área em relação ao tempo, usando a regra do produto, obtemos:
Passo 5
Agora basta substituir os valores no instante considerado:
Fazendo as contas:
$$ \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}\Bigl(100\times5 + 50\sqrt{3}\times\bigl(-\tfrac{1}{20}\bigr)\Bigr)
= \frac{1}{2}\Bigl(500 - \tfrac{50\sqrt{3}}{20}\Bigr)
= 250 - \frac{5\sqrt{3}}{4}\quadmm^2/min. $$
Resposta
No instante em que todos os lados medem 10 cm, a área varia a uma taxa de
mm²/min.