Uma placa com a forma de um triângulo isósceles, com espessura insignificante, tem sua base diminuindo 3 mm por hora e sua altura aumentando 5 mm por minuto. Determine a taxa com que a área varia no instante em que os três lados estiverem medindo simultaneamente 10 cm .

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um triângulo isósceles de base diminuindo a 3 mm/h e altura crescendo a 5 mm/min. Queremos a taxa de variação da área no instante em que todos os lados medem 10 cm. O conteúdo aqui é taxa relacionada envolvendo a área de um triângulo.

Passo 2

Antes de derivar, vamos organizar as variáveis e as unidades. A área do triângulo é dada por
A = 12 b,h
Como vamos usar taxas em mm/min, convertemos a variação da base para mm/min:
dbdt = -3,mmh = -3times160,mmmin = -120,mmmin

Passo 3

No instante pedido o triângulo é equilátero (base = lado = 10 cm). Convertendo para mm:
b = 100,mm
A altura de um triângulo equilátero de lado b é
h = raiz32b = raiz32times100 = 50raiz3,mm
E foi dado
dhdt = 5,mmmin

Passo 4

Diferenciando a fórmula da área em relação ao tempo, usando a regra do produto, obtemos:
dAdt = 12l(bdhdt + hdbdtr)

Passo 5

Agora basta substituir os valores no instante considerado:
b = 100, h = 50raiz3, dbdt = -tfrac120, dhdt = 5
Fazendo as contas:
$$ \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}\Bigl(100\times5 + 50\sqrt{3}\times\bigl(-\tfrac{1}{20}\bigr)\Bigr)
= \frac{1}{2}\Bigl(500 - \tfrac{50\sqrt{3}}{20}\Bigr)
= 250 - \frac{5\sqrt{3}}{4}\quadmm^2/min. $$

Resposta

No instante em que todos os lados medem 10 cm, a área varia a uma taxa de 250 - tfrac5raiz34 mm²/min.

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