Uma placa infinita contendo uma densidade superficial de carga sigma=sigma0 está a uma distância d de outra placa infinita com uma densidade superficial de carga sigma=-2 sigma0, sendo sigma0 uma constante. (a) Qual é o campo elétrico resultante
na região entre as placas? (b) Existe algum ponto nas proximidades das placas onde o campo elétrico resultante seja nulo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas placas infinitas com densidades superficiais de carga diferentes. A primeira placa tem densidade sigma = sigma0 e a segunda tem sigma = -2sigma0. A distância entre elas é d. Nosso objetivo é:
a) Encontrar o campo elétrico resultante na região entre as placas.
b) Verificar se existe algum ponto próximo das placas onde o campo elétrico resultante é zero.
Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss e a superposição de campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma placa infinita com densidade superficial de carga sigma, o campo elétrico ( E) gerado por ela é dado por:
E = sigma2varepsilon0
Onde varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo.
Esse campo é perpendicular à superfície da placa e aponta para fora se a carga for positiva e para dentro se a carga for negativa.

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico gerado por cada uma das placas.
  1. Primeira placa ( sigma = sigma0):
    • Como a carga é positiva, o campo elétrico gerado por ela aponta para fora da placa em ambos os lados.
    • Então, o campo devido a essa placa é: E1 = sigma02varepsilon0
  2. Segunda placa ( sigma = -2sigma0):
    • Aqui, a carga é negativa, então o campo elétrico aponta para dentro da placa em ambos os lados.
    • O campo devido a essa placa é: E2 = -2sigma02varepsilon0 = -sigma0varepsilon0

Passo 4

Agora, vamos considerar a região entre as duas placas. Nessa região:
  • O campo da primeira placa ( E1) aponta para a direita (digamos).
  • O campo da segunda placa ( E2) também aponta para a direita, já que o campo dela aponta para dentro da placa (o que, na região entre as placas, é na mesma direção do campo da primeira placa).
Para encontrar o campo elétrico resultante ( Etotal) na região entre as placas, somamos os campos individuais:
Etotal = E1 + E2 = sigma02varepsilon0 + (-sigma0varepsilon0) = -sigma02varepsilon0
O sinal negativo indica que a direção do campo resultante é para a esquerda.

Passo 5

Para a parte (b), queremos encontrar se existe algum ponto próximo das placas onde o campo elétrico resultante seja zero. Isso significa que os campos das duas placas devem se cancelar.
Vamos considerar um ponto a uma distância x da primeira placa (com sigma = sigma0) e, portanto, a distância (d - x) da segunda placa (com sigma = -2sigma0).
Os campos nesse ponto serão:
  • Campo devido à primeira placa:
    E1(x) = sigma02varepsilon0
  • Campo devido à segunda placa:
    E2(x) = -2sigma02varepsilon0 = -sigma0varepsilon0
Queremos que a soma desses campos seja zero:
E1(x) + E2(x) = 0 sigma02varepsilon0 - sigma0varepsilon0 = 0 -sigma02varepsilon0 = 0
Isso nunca acontece, já que -sigma02varepsilon0 é sempre diferente de zero. Portanto, não existe nenhum ponto próximo das placas onde o campo elétrico resultante seja nulo.

Resposta

a) O campo elétrico resultante na região entre as placas é E = -sigma02varepsilon0, apontando para a esquerda.
b) Não existe nenhum ponto nas proximidades das placas onde o campo elétrico resultante seja nulo.

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