Uma placa infinita contendo uma densidade superficial de carga
está a uma distância
de outra placa infinita com uma densidade superficial de carga
, sendo
uma constante. (a) Qual é o campo elétrico resultante
na região entre as placas? (b) Existe algum ponto nas proximidades das placas onde o campo elétrico resultante seja nulo?
na região entre as placas? (b) Existe algum ponto nas proximidades das placas onde o campo elétrico resultante seja nulo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas placas infinitas com densidades superficiais de carga diferentes. A primeira placa tem densidade
e a segunda tem
. A distância entre elas é
. Nosso objetivo é:
a) Encontrar o campo elétrico resultante na região entre as placas.
b) Verificar se existe algum ponto próximo das placas onde o campo elétrico resultante é zero.
Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss e a superposição de campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma placa infinita com densidade superficial de carga
, o campo elétrico (
) gerado por ela é dado por:
Onde
é a constante de permissividade do vácuo.
Esse campo é perpendicular à superfície da placa e aponta para fora se a carga for positiva e para dentro se a carga for negativa.
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico gerado por cada uma das placas.
-
Primeira placa (
): - Como a carga é positiva, o campo elétrico gerado por ela aponta para fora da placa em ambos os lados.
- Então, o campo devido a essa placa é:
-
Segunda placa (
): - Aqui, a carga é negativa, então o campo elétrico aponta para dentro da placa em ambos os lados.
- O campo devido a essa placa é:
Passo 4
Agora, vamos considerar a região entre as duas placas. Nessa região:
- O campo da primeira placa (
) aponta para a direita (digamos). - O campo da segunda placa (
) também aponta para a direita, já que o campo dela aponta para dentro da placa (o que, na região entre as placas, é na mesma direção do campo da primeira placa).
Para encontrar o campo elétrico resultante (
) na região entre as placas, somamos os campos individuais:
O sinal negativo indica que a direção do campo resultante é para a esquerda.
Passo 5
Para a parte (b), queremos encontrar se existe algum ponto próximo das placas onde o campo elétrico resultante seja zero. Isso significa que os campos das duas placas devem se cancelar.
Vamos considerar um ponto a uma distância
da primeira placa (com
) e, portanto, a distância
da segunda placa (com
).
Os campos nesse ponto serão:
-
Campo devido à primeira placa:
-
Campo devido à segunda placa:
Queremos que a soma desses campos seja zero:
Isso nunca acontece, já que
é sempre diferente de zero. Portanto, não existe nenhum ponto próximo das placas onde o campo elétrico resultante seja nulo.
Resposta
a) O campo elétrico resultante na região entre as placas é
, apontando para a esquerda.
b) Não existe nenhum ponto nas proximidades das placas onde o campo elétrico resultante seja nulo.