Um próton e um elétron ocupam dois vértices de um triângulo equilátero de lado a=2 mu m. (a) Qual é o módulo do campo elétrico resultante no terceiro vértice do triângulo? (b) Com as informações fornecidas é possível determinar a direção e o sentido do campo resultante?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o campo elétrico resultante no terceiro vértice de um triângulo equilátero onde temos um próton e um elétron em dois vértices. Estamos lidando com a matéria de Eletrostática, mais especificamente com a Lei de Coulomb e a superposição de campos elétricos. Para resolver, vamos precisar saber a carga do próton e do elétron, a distância entre eles (que é o lado do triângulo, a = 2,mu m) e recordar como calcular o campo elétrico gerado por uma carga em um ponto no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do campo elétrico criado por uma carga pontual. A Lei de Coulomb nos diz que o campo elétrico ( E) devido a uma carga ( q) a uma distância ( r) é dado por:
E = k cdot |q|r^2
onde k é a constante eletrostática, aproximadamente 8,99 times 10^9, Ncdotm^2/C^2.

Passo 3

Agora, vamos identificar as cargas e suas posições. Temos um próton e um elétron:
  • O próton tem carga qp = +e, onde e = 1,602 times 10^-19, C.
  • O elétron tem carga qe = -e.
Como estão nos vértices de um triângulo equilátero, a distância de cada um deles até o terceiro vértice é a = 2,mu m = 2 times 10^-6, m.

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico criado pelo próton no terceiro vértice. Usando a fórmula:
Ep = k cdot |qp|a^2 = 8,99 times 10^9, Ncdotm^2/C^2 times 1,602 times 10^-19, C(2 times 10^-6, m)^2
Fazendo as contas:
Ep = 8,99 times 10^9 times 1,602 times 10^-194 times 10^-12 approx 1,439 times 10^-94 times 10^-12 = 3,5975 times 10^2, N/C
Então, Ep approx 360, N/C.

Passo 5

De forma semelhante, vamos calcular o campo elétrico criado pelo elétron no terceiro vértice:
Ee = k cdot |qe|a^2 = 8,99 times 10^9, Ncdotm^2/C^2 times 1,602 times 10^-19, C(2 times 10^-6, m)^2
Notamos que o módulo é o mesmo que o do próton:
Ee approx 360, N/C

Passo 6

Agora, precisamos considerar as direções desses campos elétricos no terceiro vértice. O próton, sendo positivo, cria um campo que sai dele. O elétron, sendo negativo, cria um campo que aponta em direção a ele.
Como o triângulo é equilátero, os ângulos entre os campos são de 60^circ. Então, para encontrar o campo resultante, vamos somar vetorialmente Ep e Ee com um ângulo de 60^circ entre eles.

Passo 7

Usando a fórmula da soma de dois vetores com um ângulo theta entre eles:
Eresu
Substituindo os valores:
Eresu
Sabemos que cos60^circ = 0,5, então:
Eresu
Eresu

Resposta

(a) O módulo do campo elétrico resultante no terceiro vértice é aproximadamente 624, N/C.
(b) Com as informações fornecidas, não é possível determinar a direção e o sentido exatos do campo resultante, pois precisamos saber a posição relativa das cargas ou referências de direção no triângulo.

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