Uma taça de alumínio, cuja capacidade é de
, está cheia de glicerina a
. Se a temperatura de ambas for elevada para
, quanto de glicerina, se possível, transbordará? 9. A densidade é a razão entre a massa e o volume. Se o volume
é dependente da temperatura, então, também o é a densidade
. Mostre que uma variação na densidade
com a variação da temperatura
é dada por
, onde
é o coeficiente de dilatação volumétrica. Explique o sinal negativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá. A questão é de dilatação volumétrica e densidade.
– Enunciado resumido: Temos uma taça de alumínio (V₀=100 cm³) cheia de glicerina a 22 °C. Aquecemos tudo até 28 °C. Pergunta 1: quanto de glicerina transborda?
– Pergunta 2: mostrando que, quando a temperatura varia ΔT, a densidade varia como
– Enunciado resumido: Temos uma taça de alumínio (V₀=100 cm³) cheia de glicerina a 22 °C. Aquecemos tudo até 28 °C. Pergunta 1: quanto de glicerina transborda?
– Pergunta 2: mostrando que, quando a temperatura varia ΔT, a densidade varia como
e explicar por que o sinal é negativo.
Pra resolver, vamos precisar de:
Pra resolver, vamos precisar de:
- Coeficientes de dilatação volumétrica: β_glicerina e β_alumínio.
- Fórmula de dilatação volumétrica:
. - Definição de densidade:
.
Passo 2
Teoria da dilatação volumétrica:
Quando você aquece um líquido ou um sólido, o volume cresce segundo
Quando você aquece um líquido ou um sólido, o volume cresce segundo
onde
– é o volume inicial,
– é a variação de temperatura,
– é o coeficiente de dilatação volumétrica (unidade: °C⁻¹).
–
–
–
Passo 3
Aplicando ao líquido (glicerina):
– ,
– ,
– .
Então o volume da glicerina fica
–
–
–
Então o volume da glicerina fica
Passo 4
Aplicando à taça (alumínio):
– ,
– ,
– mesma .
–
–
– mesma
Passo 5
Volume que transborda =
, se for positivo:
Passo 6
Agora a densidade. Por definição,
Se a massa
não muda e o volume fica
, então
Fazendo aproximação para
(expandindo em série de Taylor de
):
Logo a variação
é
O sinal negativo mostra que, quando a temperatura sobe (
), o volume aumenta e, como a massa é fixa, a densidade cai.
Resposta
- O volume de glicerina que transborda é aproximadamente 0,26 cm³.
- A variação de densidade ao aquecer
é
e o sinal negativo indica que, ao aumentar
, o volume cresce e a densidade diminui.