Uma taça de alumínio, cuja capacidade é de 100 cm^3, está cheia de glicerina a 22^circ C. Se a temperatura de ambas for elevada para 28^circ C, quanto de glicerina, se possível, transbordará? 9. A densidade é a razão entre a massa e o volume. Se o volume V é dependente da temperatura, então, também o é a densidade rho. Mostre que uma variação na densidade De com a variação da temperatura De é dada por De, onde beta é o coeficiente de dilatação volumétrica. Explique o sinal negativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão é de dilatação volumétrica e densidade.
– Enunciado resumido: Temos uma taça de alumínio (V₀=100 cm³) cheia de glicerina a 22 °C. Aquecemos tudo até 28 °C. Pergunta 1: quanto de glicerina transborda?
– Pergunta 2: mostrando que, quando a temperatura varia ΔT, a densidade varia como
De
e explicar por que o sinal é negativo.
Pra resolver, vamos precisar de:
  1. Coeficientes de dilatação volumétrica: β_glicerina e β_alumínio.
  2. Fórmula de dilatação volumétrica: .
  3. Definição de densidade: .

Passo 2

Teoria da dilatação volumétrica:
Quando você aquece um líquido ou um sólido, o volume cresce segundo
V = V0,(1 + beta,De
onde
é o volume inicial,
é a variação de temperatura,
é o coeficiente de dilatação volumétrica (unidade: °C⁻¹).

Passo 3

Aplicando ao líquido (glicerina):
Vrm glic = 100l(1 + 5,04times10^-4times6r) = 100l(1 + 3,024times10^-3r) approx 100,3024;cm^3 ,
,
.
Então o volume da glicerina fica

Passo 4

Aplicando à taça (alumínio):
Vrm alum = 100l(1 + 69times10^-6times6r) = 100l(1 + 4,14times10^-4r) approx 100,0414;cm^3 ,
,
– mesma .

Passo 5

Volume que transborda = De, se for positivo:

Passo 6

Agora a densidade. Por definição,
rho = mV
Se a massa rho = mV0(1 + beta,De não muda e o volume fica rho approx rho0,(1 - beta,De, então
De
Fazendo aproximação para (expandindo em série de Taylor de ):
Logo a variação é
O sinal negativo mostra que, quando a temperatura sobe ( ), o volume aumenta e, como a massa é fixa, a densidade cai.

Resposta

  1. O volume de glicerina que transborda é aproximadamente 0,26 cm³.
  2. A variação de densidade ao aquecer boxedDe é
e o sinal negativo indica que, ao aumentar , o volume cresce e a densidade diminui.

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