Encontre a expressão da função
que soluciona a equação diferencial:
atendendo às condições de contorno:
Passo 1
O enunciado pede a função
que satisfaz a equação em derivadas parciais
com as condições de contorno
Vamos usar o método das características para obter a solução geral.
Passo 2
Nas características temos
Da igualdade
segue
.
Da igualdade segue
.
Como ,
é constante ao longo dessas curvas, logo a solução geral é
Da igualdade
Como
onde
é uma função arbitrária de duas variáveis.
Passo 3
Impondo as condições de contorno obtemos
Isso mostra que há infinitas escolhas de
que passam por esses dois pontos, isto é, o problema admite muitas soluções da forma
sujeitas a
e
.
Passo 4
Para obter uma forma explícita, escolhemos o ansatz exponencial
As condições
são duas equações em
. Se fixarmos
, então dessas equações vêm
Passo 5
Substituindo
,
e
em
e devolvendo
,
, achamos a solução particular
a qual satisfaz tanto a PDE quanto as duas condições dadas.