Encontre a expressão da função u(x, y, t) que soluciona a equação diferencial:
ux+uy-2 ut=0
atendendo às condições de contorno:
u(0,0,1)=5 raize ; u(1,0,0)=5raize

Passo 1

O enunciado pede a função u(x,y,t) que satisfaz a equação em derivadas parciais
ux+uy-2,ut=0
com as condições de contorno
u(0,0,1)=5raize e u(1,0,0)=5raize
Vamos usar o método das características para obter a solução geral.

Passo 2

Nas características temos
dx1=dy1=dt-2=du0
Da igualdade dx=dy segue y - x = c1.
Da igualdade dx=-tfrac12,dt segue t + 2x = c2.
Como du=0, u é constante ao longo dessas curvas, logo a solução geral é
u(x,y,t)=Fl(y - x,;t + 2xr),
onde F é uma função arbitrária de duas variáveis.

Passo 3

Impondo as condições de contorno obtemos
F(0,1)=u(0,0,1)=5raize, F(-1,2)=u(1,0,0)=5raize
Isso mostra que há infinitas escolhas de F que passam por esses dois pontos, isto é, o problema admite muitas soluções da forma
u(x,y,t)=Fl(y - x,;t + 2xr)
sujeitas a
;F(0,1)=5raize e ;F(-1,2)=5/raize.

Passo 4

Para obter uma forma explícita, escolhemos o ansatz exponencial
F(alpha,beta)=A,e^Balpha + Cbeta
As condições
F(0,1)=A,e^C=5e^1/2, F(-1,2)=A,e^-B+2C=5e^-1/2
são duas equações em A,B,C. Se fixarmos C=tfrac12, então dessas equações vêm
B=32, A=5

Passo 5

Substituindo A=5, B=tfrac32 e C=tfrac12 em F e devolvendo alpha=y-x, beta=t+2x, achamos a solução particular
u(x,y,t) =5exp!l(tfrac32(y - x)+tfrac12(t+2x)r) =5exp!l(tfract2+tfrac3y2-tfracx2r),
a qual satisfaz tanto a PDE quanto as duas condições dadas.

Resposta

u(x,y,t)=5expl(tfract2+tfrac3y2-tfracx2r)

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