Uma placa com propriedades condutividade térmica igual a 15 W / m K, calor específico igual a 477 J / kg cdot K e massa específica igual a 7900 kg / m^3 tem uma espessura de 200 mm . Inicialmente ele está a 400^circ C e repousa sobre uma superfície adiabática. O ambiente e os arredores estão a 20^circ C e o coeficiente de transmissão de calor por convecção-radiação combinado linearizado é de 250 W / m^2 cdot K.
Determine o tempo que a superfície inferior da placa leva para atingir 300^circ C.

Passo 1

O enunciado apresenta uma placa de espessura L=0,20,m, condutividade térmica k=15,W/ mcdot K, calor específico cp=477,J/k gcdot K, densidade rho=7900,kg/ m^3, com temperatura inicial Ti=400,^circC. A face inferior está adiabática e a superior resfria para o ambiente a Tinfty=20,^circC com coeficiente convectivo-linearizado h=250,W/ m^2 cdotK. Queremos o tempo para a face adiabática atingir T=300,^circC. O conteúdo é condução transiente unidimensional, caso de placa com um lado adiabático e o outro convectivo.

Passo 2

Substituímos o problema por uma placa simétrica de meia-espessura com convecção em ambas as faces (espelho na face adiabática). A solução em regime transiente usa séries de autovalores tais que
onde . A temperatura centrada (original na face adiabática) em função do tempo é
com

Passo 3

Calculamos a difusividade térmica e o número de Biot:

Passo 4

Determina-se o primeiro autovalor beta1 resolvendo numericamente
betatanbeta=3,33,
encontrando
beta1approx1,23.

Passo 5

Calcula-se o coeficiente A1:
sinbeta1approx0,943, sin(2beta1)approx0,636,
A1 = 4sinbeta12beta1+sin(2beta1) approx4cdot0,9432cdot1,23+0,636 approx1,22

Passo 6

Queremos C, então
Aproximando pela primeira moda:
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Passo 7

Desse modo o tempo é

Resposta

O tempo para a face inferior atingir 300,^circC é aproximadamente 3,3times10^3,s (cerca de 56 minutos).

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