Uma placa com propriedades condutividade térmica igual a 15 W / m K, calor específico igual a 477 J / kg cdot K e massa específica igual a 7900 kg / m^3 tem uma espessura de 200 mm . Inicialmente ele está a 400^circ C e repousa sobre uma superfície adiabática. O ambiente e os arredores estão a 20^circ C e o coeficiente de transmissão de calor por convecção-radiação combinado linearizado é de 250 W / m^2 cdot K.
Determine o tempo que a superfície inferior da placa leva para atingir 375 ^circ C.

Passo 1

O enunciado trata de condução transiente unidimensional numa placa de espessura L=0,20,m, com a face x=0 adiabática e a face x=L sujeita a convecção linearizada ( h=250,W/m^2K) para o ambiente a Tinfty=20^circC. Inicialmente toda a placa está a Ti=400^circC. Queremos o tempo para que a face x=0 atinja T(0,t)=375^circC. O conteúdo aqui é solução em série para condução transiente em slab com um lado isolado e o outro convectivo.

Passo 2

Escrevemos a equação de calor e as condições de contorno e iniciais:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2,
partial Tpartial x|x=0=0, -kpartial Tpartial x|x=L=hl(T(L,t)-Tinftyr),
T(x,0)=Ti
Aqui alpha=dfrackrho,c é difusividade térmica, com k=15,W/mK, rho=7900,kg/m^3 e c=477,J/kgK.

Passo 3

A solução normalizada no ponto x=0 (equivalente ao centro de um slab simétrico de meia-espessura) é
T(0,t)-TinftyTi-Tinfty =sumn=1^infty An expl(-zetan^2,For),
onde
Fo=alpha,tL^2, Bi=h,Lk,
os autovalores zetan são raízes de
zetatanzeta=Bi,
e os coeficientes são
An=4,sinzetan2,zetan+sin(2,zetan)

Passo 4

Calculamos primeiro os parâmetros numéricos:
alpha=krho,c =157900cdot477 approx3,98times10^-6,m^2/s,
Bi=h,Lk =250cdot0,2015 approx3,33
A primeira raiz de zetatanzeta=3,33 no intervalo (0,pi/2) é
zeta1approx1,224
Então
A1 =4sin(1,224)2cdot1,224+sin(2cdot1,224) approx4cdot0,942,448+0,64 approx1,216

Passo 5

Usando apenas o primeiro termo (aproximação de primerio modo), definimos a razão desejada
theta=T(0,t)-TinftyTi-Tinfty =375-20400-20 =355380 approx0,9342
Temos então
thetaapprox A1,e^-zeta1^2,Fo ;Longrightarrow; e^-zeta1^2,Fo =0,93421,216 approx0,7682,
-zeta1^2,Fo =ln(0,7682) approx-0,2638 Longrightarrow Fo =0,2638zeta1^2 approx0,26381,224^2 approx0,1763
Como Fo=alpha t/L^2, vem
t =Fo,L^2alpha =0,1763cdot(0,20)^23,98times10^-6 approx1,77times10^3,s approx30,min

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente
tapprox1,8times10^3,s (cerca de 30 min)

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