Questão 3. Calcule integralgamma(x y^2-y) d x+(x^2 y+2 x) d y, em que gamma é a curva que parametriza a fronteira do conjunto
C=(x, y) in R^2 /|x|+|y| <= 1
orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
ointgammal(x y^2-yr),dx+l(x^2y+2xr),dy
onde gamma é a fronteira orientada anti-horário do conjunto
C=(x,y)inR^2 mid |x|+|y|<=1
Este é um caso clássico para usar o Teorema de Green, que transforma a integral de linha num duplo integral sobre C.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=x y^2-y, Q(x,y)=x^2y+2x
Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =2xy+2, partial Ppartial y =2xy-1

Passo 3

Pelo Teorema de Green temos
ointgammaP,dx+Q,dy =integral duplaCl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Substituindo as derivadas:
partial Qpartial x-partial Ppartial y =(2xy+2)-(2xy-1)=3
Logo
ointgammaP,dx+Q,dy =integral duplaC3,dA

Passo 4

A região C definida por |x|+|y|<=1 é um losango com vértices em (pm1,0) e (0,pm1). A sua área é
Area(C)=2

Passo 5

Portanto
ointgammaP,dx+Q,dy =3;times;Area(C) =3;times 2 =6

Resposta

6

Exercícios relacionados