Uma placa retangular de alumínio tem 10 cm de largura e 40 cm de comprimento, à temperatura de 40^{\circ} \mathrm{C}. Essa placa é aquecida até atingir a temperatura de 70^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que o coeficiente de dilatação superficial do alumínio é \beta_{a l}=46.10^{-6 o} C^{-1}, a área final desta placa retangular, nesta temperatura, será
a) 0,522 \mathrm{~cm}^{2}
b) 400 \mathrm{~cm}^{2}
c) 400,552 \mathrm{~cm}^{2}
d) 452,222 \mathrm{~cm}^{2}

Passo 1

O enunciado pede a área final de uma placa retangular de alumínio quando aquecida. Dados fornecidos:
\;Largura inicial: \;10\\ \mathrm{cm}
\;Comprimento inicial: \;40\\ \mathrm{cm}
\;Temperatura inicial: \;40^\circ\mathrm{C}
\;Temperatura final: \;70^\circ\mathrm{C}
\;Coeficiente de dilatação superficial do alumínio: \;\beta_{al}=46\cdot10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}
Pergunta: qual será a área final da placa à temperatura de 70^\circ\mathrm{C}?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): quando uma área plana sofre variação de temperatura pequena, a área final \;A_f\; é dada pela relação
A_f = A_0\,(1+\beta\,\Delta T),
onde:
\;A_0 é a área inicial,
\;\beta é o coeficiente de dilatação superficial (dado no enunciado),
\;\Delta T é a variação de temperatura ( \;T_{final}-T_{inicial}).
Raciocínio: se cada comprimento cresce aproximadamente por (1+\alpha\Delta T), a área cresce por (1+\alpha\Delta T)^2 \approx 1+2\alpha\Delta T; por isso se define \beta para área (em muitos materiais \beta\approx2\alpha), mas aqui já nos deram \beta, então usaremos diretamente a fórmula acima.

Passo 3

Calcular a área inicial \;A_0 (produto da largura pelo comprimento):
A_0 = 10\\ \mathrm{cm}\times 40\\ \mathrm{cm} = 400\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 4

Calcular a variação de temperatura \;\Delta T:
\Delta T = 70^\circ\mathrm{C}-40^\circ\mathrm{C}=30^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular o produto \;\beta\,\Delta T. Primeiro escrevemos \beta e multiplicamos:
\beta\,\Delta T = \left(46\cdot10^{-6}\right)\cdot 30.
Fazendo as contas passo a passo:
46\cdot 30 = 1380,
portanto
\beta\,\Delta T = 1380\cdot10^{-6} = 1{,}38\cdot10^{-3}.

Passo 6

Calcular o acréscimo de área \;\Delta A = A_0\beta\Delta T:
\Delta A = 400\\ \mathrm{cm}^2 \times 1{,}38\cdot10^{-3}.
Fazendo a multiplicação:
400\times 1{,}38\cdot10^{-3} = 400\times\frac{1{,}38}{1000} = \frac{552}{1000} = 0{,}552\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 7

Calcular a área final usando A_f=A_0+\Delta A:
A_f = 400\\ \mathrm{cm}^2 + 0{,}552\\ \mathrm{cm}^2 = 400{,}552\\ \mathrm{cm}^2.
Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (c).

Resposta

c) 400{,}552\\ \mathrm{cm}^2

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