Sejam f, g e h funções deriváveis. Determine
[f(x) g(x) h(x)]^{\prime} \text { e }\left[\frac{f(x) g(x)}{h(x)}\right]^{\prime}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: f, g e h são funções deriváveis (ou seja, todas possuem derivada).
  • Pede:
    1. Determinar \bigl[f(x)g(x)h(x)\bigr]^{\prime}.
    2. Determinar \left[\dfrac{f(x)g(x)}{h(x)}\right]^{\prime}.

Passo 2

Lembrete e prova curta da regra do produto para duas funções (ferramenta que vamos usar).
  • Regra do produto (duas funções): se u(x) e v(x) são deriváveis então
\bigl[u(x)v(x)\bigr]^{\prime}=u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x).
  • Por que isso é verdade (esquema de prova por limite, sem pular etapas importantes):
\begin{aligned} \bigl[u(x)v(x)\bigr]^{\prime} &=\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}\\[4pt] &=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\bigl(u(x+\Delta x)-u(x)\bigr)v(x+\Delta x)+u(x)\bigl(v(x+\Delta x)-v(x)\bigr)}{\Delta x}\\[4pt] &=\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\,v(x+\Delta x)+u(x)\lim_{\Delta x\to0}\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\\[4pt] &=u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x), \end{aligned}
porque v(x+\Delta x)\to v(x) quando \Delta x\to0.
  • Explicação simples: ao derivar um produto, separe o aumento em duas partes (uma em que só varia u e outra em que só varia v) e cada parte gera um termo.]

Passo 3

Derivada do produto de três funções aplicando a regra do produto duas vezes.
  • Defina P(x)=f(x)g(x)h(x). Escreva P(x)=\bigl(f(x)g(x)\bigr)\,h(x). Aplicando a regra do produto (duas funções) entre u(x)=f(x)g(x) e v(x)=h(x),
P^{\prime}(x)=\bigl(f(x)g(x)\bigr)^{\prime}h(x)+\bigl(f(x)g(x)\bigr)h^{\prime}(x).
  • Agora expanda \bigl(fg\bigr)^{\prime} usando a regra do produto para f e g:
\bigl(f(x)g(x)\bigr)^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x).
  • Substituindo na expressão de P^{\prime}(x) obtemos
\begin{aligned} P^{\prime}(x)&=\bigl(f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\bigr)h(x)+f(x)g(x)h^{\prime}(x)\\[4pt] &=f^{\prime}(x)g(x)h(x)+f(x)g^{\prime}(x)h(x)+f(x)g(x)h^{\prime}(x). \end{aligned}
  • Interpretação prática: a derivada do produto de três funções é a soma de três termos; em cada termo deriva-se exatamente uma das funções e as outras duas ficam multiplicando.]

Passo 4

Derivada da função recíproca 1/h(x) (ferramenta necessária para a razão).
  • Seja q(x)=\dfrac{1}{h(x)}=h(x)^{-1}. Pela regra da cadeia (ou derivada de potência), se u(x) é derivável então \dfrac{d}{dx}u(x)^{n}=n\,u(x)^{n-1}u^{\prime}(x).
  • Aplicando com n=-1 e u(x)=h(x):
\bigl(h(x)^{-1}\bigr)^{\prime}=-1\cdot h(x)^{-2}\cdot h^{\prime}(x)=-\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)^{2}}.
  • Intuição: a derivada do recíproco é negativa e tem o quadrado do denominador.

Passo 5

Derivada da razão \dfrac{f g}{h} usando produto com o recíproco (método passo a passo).
  • Escreva Q(x)=\dfrac{f(x)g(x)}{h(x)}=\bigl(f(x)g(x)\bigr)\cdot h(x)^{-1}.
  • Aplique a regra do produto entre u(x)=f(x)g(x) e v(x)=h(x)^{-1}:
Q^{\prime}(x)=\bigl(f(x)g(x)\bigr)^{\prime}h(x)^{-1}+\bigl(f(x)g(x)\bigr)\bigl(h(x)^{-1}\bigr)^{\prime}.
  • Substitua \bigl(fg\bigr)^{\prime}=f^{\prime}g+fg^{\prime} e \bigl(h^{-1}\bigr)^{\prime}=-\dfrac{h^{\prime}}{h^{2}}:
Q^{\prime}(x)=\bigl(f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\bigr)\frac{1}{h(x)}+f(x)g(x)\left(-\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)^{2}}\right).
  • Coloque em um denominador comum h(x)^{2} e simplifique:
\begin{aligned} Q^{\prime}(x) &=\frac{f^{\prime}(x)g(x)h(x)+f(x)g^{\prime}(x)h(x)-f(x)g(x)h^{\prime}(x)}{h(x)^{2}}\\[4pt] &=\frac{h(x)\bigl(f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\bigr)-f(x)g(x)h^{\prime}(x)}{h(x)^{2}}. \end{aligned}
  • Esta é a forma final. Observação prática: é análogo à regra do quociente usual (numerador = derivada do numerador vezes denominador menos numerador vezes derivada do denominador, tudo sobre denominador ao quadrado).]

Passo 6

Exemplo rápido para fixar (pequena checagem mental).
  • Tome f(x)=x, g(x)=x^{2}, h(x)=x^{3} (todas deriváveis; ignore x=0 se for dividir).
  • Produto: f^{\prime}=1, g^{\prime}=2x, h^{\prime}=3x^{2}. Aplicando a fórmula do Passo 3:
\bigl(fgh\bigr)^{\prime}=1\cdot x^{2}\cdot x^{3}+x\cdot 2x\cdot x^{3}+x\cdot x^{2}\cdot 3x^{2}=x^{5}+2x^{5}+3x^{5}=6x^{5},
o que bate com a derivada de x\cdot x^{2}\cdot x^{3}=x^{6}, cuja derivada é 6x^{5}.
  • Razão: \dfrac{f g}{h}=\dfrac{x\cdot x^{2}}{x^{3}}=1 (constante), então a derivada deve ser 0. Aplicando a fórmula do Passo 5 dá
\frac{x^{3}(1\cdot x^{2}+x\cdot 2x)-x\cdot x^{2}\cdot 3x^{2}}{x^{6}}=\frac{x^{5}+2x^{5}-3x^{5}}{x^{6}}=0,
confirmação prática.

Resposta

\bigl[f(x)g(x)h(x)\bigr]^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)h(x)+f(x)g^{\prime}(x)h(x)+f(x)g(x)h^{\prime}(x)
\left[\frac{f(x)g(x)}{h(x)}\right]^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)g(x)h(x)+f(x)g^{\prime}(x)h(x)-f(x)g(x)h^{\prime}(x)}{h(x)^{2}}

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