Sejam
e
funções deriváveis. Determine
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
, e são funções deriváveis (ou seja, todas possuem derivada). - Pede:
- Determinar
. - Determinar
.
- Determinar
Passo 2
Lembrete e prova curta da regra do produto para duas funções (ferramenta que vamos usar).
- Regra do produto (duas funções): se
e são deriváveis então
- Por que isso é verdade (esquema de prova por limite, sem pular etapas importantes):
porque
quando
.
- Explicação simples: ao derivar um produto, separe o aumento em duas partes (uma em que só varia
e outra em que só varia ) e cada parte gera um termo.]
Passo 3
Derivada do produto de três funções aplicando a regra do produto duas vezes.
- Defina
. Escreva . Aplicando a regra do produto (duas funções) entre e ,
- Agora expanda
usando a regra do produto para e :
- Substituindo na expressão de
obtemos
- Interpretação prática: a derivada do produto de três funções é a soma de três termos; em cada termo deriva-se exatamente uma das funções e as outras duas ficam multiplicando.]
Passo 4
Derivada da função recíproca
(ferramenta necessária para a razão).
- Seja
. Pela regra da cadeia (ou derivada de potência), se é derivável então . - Aplicando com
e :
- Intuição: a derivada do recíproco é negativa e tem o quadrado do denominador.
Passo 5
Derivada da razão
usando produto com o recíproco (método passo a passo).
- Escreva
. - Aplique a regra do produto entre
e :
- Substitua
e :
- Coloque em um denominador comum
e simplifique:
- Esta é a forma final. Observação prática: é análogo à regra do quociente usual (numerador = derivada do numerador vezes denominador menos numerador vezes derivada do denominador, tudo sobre denominador ao quadrado).]
Passo 6
Exemplo rápido para fixar (pequena checagem mental).
- Tome
, , (todas deriváveis; ignore se for dividir). - Produto:
, , . Aplicando a fórmula do Passo 3:
o que bate com a derivada de
, cuja derivada é
.
- Razão:
(constante), então a derivada deve ser . Aplicando a fórmula do Passo 5 dá
confirmação prática.