As placas atuais de veículos são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos. Considerando que o alfabeto possui 26 letras, quantas placas diferentes podem ser fabricadas de modo que:
Os algarismos sejam todos distintos?

Passo 1

O enunciado pede o número de placas diferentes que podem ser fabricadas com o formato: três letras seguidas de quatro algarismos, sabendo que o alfabeto tem 26 letras e que os quatro algarismos devem ser todos distintos. Informações relevantes dadas:
  • Há exatamente três posições para letras (cada posição recebe uma letra do alfabeto de 26 letras).
  • Há exatamente quatro posições para algarismos (cada posição recebe um dígito de 0 a 9).
  • Os quatro algarismos devem ser todos distintos (ou seja, não se permite repetição entre eles).
  • Não foi imposta restrição sobre repetição de letras, portanto assumimos que letras podem repetir.

Passo 2

Estratégia de contagem (princípio multiplicativo): como a placa é formada por uma parte de letras seguida por uma parte de dígitos e as escolhas nas posições são independentes, contamos o número de formas possíveis para as letras e o número de formas possíveis para os algarismos e multiplicamos esses dois dois números. Para os algarismos, como exigimos que sejam todos distintos e a ordem importa (cada posição é distinta), usaremos o conceito de permutação sem repetição.

Passo 3

Contagem das letras: cada uma das três posições de letras pode receber qualquer uma das 26 letras, com repetição permitida. Pelo princípio multiplicativo, o número de maneiras de escolher as três letras é
26 \times 26 \times 26 = 26^3.
Explicação breve: para a primeira posição há 26 opções; para a segunda, novamente 26 (porque repetição é permitida); para a terceira, 26. Multiplicamos porque cada escolha para uma posição combina com todas das outras.

Passo 4

Contagem dos algarismos distintos: temos 10 dígitos disponíveis ( 0 a 9) e precisamos preencher 4 posições com dígitos distintos, em ordem. O número de maneiras é a permutação de 10 elementos tomados 4 a 4, dada por
P(10,4)=\frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10!}{6!}.
Desenvolvendo isso diretamente como produto decrescente (mais prático para calcular sem fatoriais grandes):
P(10,4)=10\times 9\times 8\times 7.
Pequeno exemplo didático: se eu tivesse só 5 dígitos e quisesse formar sequências diferentes de 3 dígitos distintos, o número seria 5\times4\times3=P(5,3).

Passo 5

Agora multiplico as duas contagens (letras e algarismos) pelo princípio multiplicativo:
\text{total} = 26^3 \times (10\times 9\times 8\times 7).
Calculemos passo a passo:
26^3 = 26\times26\times26 = 17576,
10\times 9\times 8\times 7 = 5040.
Multiplicando:
17576 \times 5040 = 88583040.
Sanity check rápido: o número é grande (em dezenas de milhões), o que faz sentido: 26^3 já dá 17576 combinações só de letras, e multiplicar por mais de 5000 combinações de dígitos distintos leva ao resultado obtido. Força aí — essa conta é direta na prova: escrever a expressão e calcular os produtos.

Resposta

88583040

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