As placas atuais de veículos são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos. Considerando que o alfabeto possui 26 letras, quantas placas diferentes podem ser fabricadas de modo que:
Os algarismos sejam todos distintos?
Os algarismos sejam todos distintos?
Passo 1
O enunciado pede o número de placas diferentes que podem ser fabricadas com o formato: três letras seguidas de quatro algarismos, sabendo que o alfabeto tem 26 letras e que os quatro algarismos devem ser todos distintos. Informações relevantes dadas:
- Há exatamente três posições para letras (cada posição recebe uma letra do alfabeto de 26 letras).
- Há exatamente quatro posições para algarismos (cada posição recebe um dígito de
a ). - Os quatro algarismos devem ser todos distintos (ou seja, não se permite repetição entre eles).
- Não foi imposta restrição sobre repetição de letras, portanto assumimos que letras podem repetir.
Passo 2
Estratégia de contagem (princípio multiplicativo): como a placa é formada por uma parte de letras seguida por uma parte de dígitos e as escolhas nas posições são independentes, contamos o número de formas possíveis para as letras e o número de formas possíveis para os algarismos e multiplicamos esses dois dois números. Para os algarismos, como exigimos que sejam todos distintos e a ordem importa (cada posição é distinta), usaremos o conceito de permutação sem repetição.
Passo 3
Contagem das letras: cada uma das três posições de letras pode receber qualquer uma das
letras, com repetição permitida. Pelo princípio multiplicativo, o número de maneiras de escolher as três letras é
Explicação breve: para a primeira posição há
opções; para a segunda, novamente
(porque repetição é permitida); para a terceira,
. Multiplicamos porque cada escolha para uma posição combina com todas das outras.
Passo 4
Contagem dos algarismos distintos: temos
dígitos disponíveis (
a
) e precisamos preencher
posições com dígitos distintos, em ordem. O número de maneiras é a permutação de
elementos tomados
a
, dada por
Desenvolvendo isso diretamente como produto decrescente (mais prático para calcular sem fatoriais grandes):
Pequeno exemplo didático: se eu tivesse só
dígitos e quisesse formar sequências diferentes de
dígitos distintos, o número seria
.
Passo 5
Agora multiplico as duas contagens (letras e algarismos) pelo princípio multiplicativo:
Calculemos passo a passo:
Multiplicando:
Sanity check rápido: o número é grande (em dezenas de milhões), o que faz sentido:
já dá
combinações só de letras, e multiplicar por mais de
combinações de dígitos distintos leva ao resultado obtido. Força aí — essa conta é direta na prova: escrever a expressão e calcular os produtos.