As placas circulares de um capacitor de placas paralelas têm um raio de 30 mm . Uma corrente constante de 2,0 A está carregando o capacitor, inicialmente descarregado, e a carga superficial nas placas está distribuída uniformemente.
a) Derive uma expressão para a magnitude do campo elétrico entre as placas como uma função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um capacitor de placas paralelas com placas circulares de raio 30 mm. Uma corrente constante de 2,0 A está carregando esse capacitor, que começa descarregado. A gente precisa derivar uma expressão para a magnitude do campo elétrico entre as placas em função do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de corrente elétrica, carga em capacitores e campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a corrente elétrica (I) é a taxa de variação da carga (Q) com o tempo (t). Matemáticamente, isso é representado por:
I = dQdt
Como a corrente é constante, podemos integrar essa expressão para encontrar a carga em função do tempo:
Q(t) = I cdot t

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a carga (Q) em um capacitor está relacionada à capacitância © e à diferença de potencial (V) pelas placas:
Q = C cdot V
Rearranjando essa fórmula para encontrar a diferença de potencial:
V = QC

Passo 4

O campo elétrico (E) entre as placas de um capacitor é relacionado à diferença de potencial (V) e à distância entre as placas (d):
E = Vd
Substituindo a expressão de V que encontramos:
E = QC cdot d

Passo 5

Vamos agora encontrar a capacitância © do capacitor de placas paralelas. A fórmula para a capacitância é:
C = varepsilon0 cdot Ad
Onde:
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo ( 8,85 times 10^-12 , F/m),
  • A é a área das placas,
  • d é a distância entre as placas.
As placas são circulares com raio de 30 mm, então a área A é:
A = pi r^2
A = pi (0,03 , m)^2
A = pi cdot 0,0009 , m^2
A = 0,002827 , m^2

Passo 6

Substituindo a área na fórmula da capacitância:
C = 8,85 times 10^-12 cdot 0,002827d
Como a distância d entre as placas não foi fornecida, vamos manter a expressão em termos de d.

Passo 7

Voltando à expressão do campo elétrico:
E = QC cdot d
Substituindo Q(t) = I cdot t e C = varepsilon0 cdot Ad:
E = I cdot t( varepsilon0 cdot Ad ) cdot d
Simplificando:
E = I cdot tvarepsilon0 cdot A

Passo 8

Agora, substituindo os valores que temos:
E(t) = 2,0 , A cdot t8,85 times 10^-12 , F/m cdot 0,002827 , m^2

Resposta

A magnitude do campo elétrico entre as placas em função do tempo é:
E(t) = 2,0 , t8,85 times 10^-12 cdot 0,002827 , V/m
Simplificando os valores numéricos:
E(t) approx 8,0 times 10^10 cdot t , V/m

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