As placas circulares de um capacitor de placas paralelas têm um raio de 30 mm . Uma corrente constante de 2,0 A está carregando o capacitor, inicialmente descarregado, e a carga superficial nas placas está distribuída uniformemente.
a) Derive uma expressão para a magnitude do campo elétrico entre as placas como uma função do tempo.
a) Derive uma expressão para a magnitude do campo elétrico entre as placas como uma função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um capacitor de placas paralelas com placas circulares de raio 30 mm. Uma corrente constante de 2,0 A está carregando esse capacitor, que começa descarregado. A gente precisa derivar uma expressão para a magnitude do campo elétrico entre as placas em função do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de corrente elétrica, carga em capacitores e campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a corrente elétrica (I) é a taxa de variação da carga (Q) com o tempo (t). Matemáticamente, isso é representado por:
Como a corrente é constante, podemos integrar essa expressão para encontrar a carga em função do tempo:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a carga (Q) em um capacitor está relacionada à capacitância © e à diferença de potencial (V) pelas placas:
Rearranjando essa fórmula para encontrar a diferença de potencial:
Passo 4
O campo elétrico (E) entre as placas de um capacitor é relacionado à diferença de potencial (V) e à distância entre as placas (d):
Substituindo a expressão de V que encontramos:
Passo 5
Vamos agora encontrar a capacitância © do capacitor de placas paralelas. A fórmula para a capacitância é:
Onde:
-
é a permissividade do vácuo ( ), -
é a área das placas, -
é a distância entre as placas.
As placas são circulares com raio de 30 mm, então a área
é:
Passo 6
Substituindo a área na fórmula da capacitância:
Como a distância
entre as placas não foi fornecida, vamos manter a expressão em termos de
.
Passo 7
Voltando à expressão do campo elétrico:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, substituindo os valores que temos:
Resposta
A magnitude do campo elétrico entre as placas em função do tempo é:
Simplificando os valores numéricos: