Calcule o campo elétrico de um anel circular fino, de densidade linear de carga constante, sobre um ponto em seu eixo de simetria das duas formas a seguir:
b. Empregando coordenadas cilíndricas, integre as contribuições , para r=(0,0, z) e r^prime mapeando toda a distribuiçāo de carga do anel. Verifique este resultado com o do item a
Passo 1
Então, o exercício pede para calcular o campo elétrico gerado por um anel circular fino com densidade linear de carga constante, lambda, em um ponto ao longo de seu eixo de simetria, z. Vamos usar coordenadas cilíndricas para isso. Para resolver, vamos precisar entender como somar as contribuições de cada pequeno pedaço de carga no anel para obter o campo elétrico total nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o anel no plano xy com raio R. O ponto onde queremos calcular o campo elétrico está no eixo z, ou seja, no ponto (0, 0, z).
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas, a posição de um elemento de carga no anel pode ser descrita por r' = (R, theta, 0), onde theta varia de 0 a 2pi.
Passo 4
A carga de um pequeno elemento de arco dtheta no anel é dq' = lambda R dtheta.
Passo 5
A distância entre o elemento de carga dq' e o ponto r = (0, 0, z) é dada por:
|r - r'| = raizR^2 + z^2
Passo 6
O vetor r - r' aponta do elemento de carga para o ponto onde estamos calculando o campo. Na direção do eixo z, a componente vertical do campo elétrico será a única que contribuirá, pois as componentes horizontais se cancelam devido à simetria do anel.
Passo 7
A contribuição do elemento de carga dq' para o campo elétrico é:
dE = 14pivarepsilon0 dq' cdot (z)(R^2 + z^2)^3/2 z
Aqui, apenas a componente z do campo elétrico é considerada.
Passo 8
Substituindo dq' = lambda R dtheta na expressão de dE:
dEz = 14pivarepsilon0 lambda R z(R^2 + z^2)^3/2 dtheta
Passo 9
Para obter o campo total Ez, integraremos dEz de theta = 0 a theta = 2pi:
Ez = lambda R z4pivarepsilon0 (R^2 + z^2)^3/2 integral0^2pi dtheta
Passo 10
A integral de dtheta de 0 a 2pi é simplesmente 2pi:
Ez = lambda R z4pivarepsilon0 (R^2 + z^2)^3/2 cdot 2pi