Uma bola maciça rola suavemente a partir do repouso através de uma superficie inclinada de altura
. No final da pista a bola deixa a superfície a uma altura
do solo. A que distância horizontal do ponto A a bola toca o chão?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola maciça que começa do repouso no topo de uma superfície inclinada de altura
. Ela rola suavemente até o final da pista, onde sai da superfície a uma altura
do chão. Nosso objetivo aqui é descobrir a que distância horizontal do ponto A a bola vai tocar o chão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica e movimento de projéteis.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na energia que a bola tem no início e no final da pista. No topo da pista, a bola tem energia potencial gravitacional devido à altura
. Quando ela chega ao final da pista a uma altura
, parte dessa energia foi transformada em energia cinética (movimento) e energia de rotação (porque a bola está rolando).
A energia potencial inicial é dada por:
E a energia potencial final é:
A diferença entre essas duas energias é convertida em energia cinética de translação e rotação:
Resolvendo para
, a velocidade da bola ao sair da pista:
Passo 3
Agora que temos a velocidade
, vamos calcular quanto tempo a bola leva para cair do ponto onde sai da pista até o chão. Para isso, usamos a equação do movimento uniformemente acelerado para a queda:
Resolvemos para
:
Passo 4
Com o tempo
que a bola leva para cair, podemos achar a distância horizontal que ela percorre durante esse tempo. A distância horizontal
é dada por:
Substituindo as expressões de
e
, temos:
Passo 5
Vamos agora substituir os valores dados na questão:
e
.
Calculando dentro da raiz:
Então:
Resposta
A bola toca o chão a aproximadamente
de distância horizontal do ponto A.