Uma bola maciça rola suavemente a partir do repouso através de uma superficie inclinada de altura H=7 m. No final da pista a bola deixa a superfície a uma altura h=4,2 m do solo. A que distância horizontal do ponto A a bola toca o chão?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola maciça que começa do repouso no topo de uma superfície inclinada de altura H = 7 m. Ela rola suavemente até o final da pista, onde sai da superfície a uma altura h = 4,2 m do chão. Nosso objetivo aqui é descobrir a que distância horizontal do ponto A a bola vai tocar o chão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica e movimento de projéteis.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na energia que a bola tem no início e no final da pista. No topo da pista, a bola tem energia potencial gravitacional devido à altura H. Quando ela chega ao final da pista a uma altura h, parte dessa energia foi transformada em energia cinética (movimento) e energia de rotação (porque a bola está rolando).
A energia potencial inicial é dada por:
Epot, inicial = m cdot g cdot H
E a energia potencial final é:
Epot, final = m cdot g cdot h
A diferença entre essas duas energias é convertida em energia cinética de translação e rotação:
m cdot g cdot (H - h) = 710 m cdot v^2
Resolvendo para v, a velocidade da bola ao sair da pista:
v = raiz10 cdot g cdot (H - h)7

Passo 3

Agora que temos a velocidade v, vamos calcular quanto tempo a bola leva para cair do ponto onde sai da pista até o chão. Para isso, usamos a equação do movimento uniformemente acelerado para a queda:
h = 12 g t^2
Resolvemos para t:
t = raiz2hg

Passo 4

Com o tempo t que a bola leva para cair, podemos achar a distância horizontal que ela percorre durante esse tempo. A distância horizontal x é dada por:
x = v cdot t
Substituindo as expressões de v e t, temos:
x = raiz10 cdot g cdot (H - h)7 cdot raiz2hg = raiz20 cdot (H - h) cdot h7

Passo 5

Vamos agora substituir os valores dados na questão: H = 7 m e h = 4,2 m.
x = raiz20 cdot (7 - 4,2) cdot 4,27 = raiz20 cdot 2,8 cdot 4,27
Calculando dentro da raiz:
20 cdot 2,8 = 56 56 cdot 4,2 = 235,2 235,27 = 33,6
Então:
x = raiz33,6 approx 5,8 m

Resposta

A bola toca o chão a aproximadamente 5,8 metros de distância horizontal do ponto A.

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