Quando uma das cordas de um violino vibra solta (isto é, sem ser pressionada com o braço do instrumento), ao mesmo tempo que um diapasão de 440 Hz , ouvem-se três batimentos por segundo. Quando a tensão da corda aumenta ligeiramente, a freqüência de batimentos diminui. Qual é a freqüência inicial da corda do violino?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma corda de violino que está vibrando solta, junto com um diapasão de 440 Hz. Quando isso acontece, ouvimos 3 batimentos por segundo. Além disso, quando aumentamos um pouco a tensão da corda, a frequência dos batimentos diminui. Nosso objetivo é descobrir qual é a frequência inicial da corda do violino. Vamos precisar entender o que são batimentos e como a frequência da corda depende da tensão.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que são batimentos. Quando duas ondas de frequências ligeiramente diferentes (digamos, Frequência dos batimentos = |f1 - f2| e ) estão sendo tocadas ao mesmo tempo, elas interferem entre si. Isso causa variações na amplitude do som que ouvimos, chamadas de batimentos, cuja frequência é a diferença entre as duas frequências:
ê

Passo 3

No nosso caso, temos um diapasão com frequência |fv - 440| = 3 e a corda do violino com frequência . Quando ambas vibram juntas, ouvimos 3 batimentos por segundo:

Passo 4

Isso significa que a frequência da corda fv = 440 + 3 = 443 , Hz pode ser:
fv = 440 - 3 = 437 , Hz
ou

Passo 5

Agora, vamos considerar a segunda parte do problema: quando a tensão na corda aumenta ligeiramente, a frequência dos batimentos diminui. Sabemos que a frequência de uma corda de violino está relacionada à tensão f = 12L raizTmu pela fórmula:
onde é o comprimento da corda e é a massa linear da corda. Então, se a tensão aumenta, a frequência também aumenta.

Passo 6

Se inicialmente , aumentando a tensão, a frequência da corda aumentaria para algo maior que 437 Hz, aproximando-se de 440 Hz. Isso faria com que a diferença entre e 440 Hz diminuísse, resultando em menos batimentos. Por outro lado, se , aumentando a tensão a frequência da corda se tornaria ainda maior, aumentando a diferença com 440 Hz, o que aumentaria os batimentos. Mas o problema diz que os batimentos diminuem quando a tensão aumenta, então a única opção viável é que inicialmente .

Resposta

A frequência inicial da corda do violino é de 437 Hz.

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