Quando uma das cordas de um violino vibra solta (isto é, sem ser pressionada com o braço do instrumento), ao mesmo tempo que um diapasão de 440 Hz , ouvem-se três batimentos por segundo. Quando a tensão da corda aumenta ligeiramente, a freqüência de batimentos diminui. Qual é a freqüência inicial da corda do violino?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma corda de violino que está vibrando solta, junto com um diapasão de 440 Hz. Quando isso acontece, ouvimos 3 batimentos por segundo. Além disso, quando aumentamos um pouco a tensão da corda, a frequência dos batimentos diminui. Nosso objetivo é descobrir qual é a frequência inicial da corda do violino. Vamos precisar entender o que são batimentos e como a frequência da corda depende da tensão.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que são batimentos. Quando duas ondas de frequências ligeiramente diferentes (digamos,
e
) estão sendo tocadas ao mesmo tempo, elas interferem entre si. Isso causa variações na amplitude do som que ouvimos, chamadas de batimentos, cuja frequência é a diferença entre as duas frequências:
Passo 3
No nosso caso, temos um diapasão com frequência
e a corda do violino com frequência
. Quando ambas vibram juntas, ouvimos 3 batimentos por segundo:
Passo 4
Isso significa que a frequência da corda
pode ser:
ou
Passo 5
Agora, vamos considerar a segunda parte do problema: quando a tensão na corda aumenta ligeiramente, a frequência dos batimentos diminui. Sabemos que a frequência de uma corda de violino está relacionada à tensão
pela fórmula:
onde
é o comprimento da corda e
é a massa linear da corda. Então, se a tensão aumenta, a frequência
também aumenta.
Passo 6
Se inicialmente
, aumentando a tensão, a frequência da corda aumentaria para algo maior que 437 Hz, aproximando-se de 440 Hz. Isso faria com que a diferença entre
e 440 Hz diminuísse, resultando em menos batimentos. Por outro lado, se
, aumentando a tensão a frequência da corda se tornaria ainda maior, aumentando a diferença com 440 Hz, o que aumentaria os batimentos. Mas o problema diz que os batimentos diminuem quando a tensão aumenta, então a única opção viável é que inicialmente
.
Resposta
A frequência inicial da corda do violino é de 437 Hz.