Plane microwaves are incident on a thin metal sheet that has a long, narrow slit of width 5.0 cm in it. The microwave radiation strikes the sheet at normal incidence. The first diffraction minimum is observed at \theta=37^{\circ}. What is the wavelength of the microwaves?

Passo 1

O enunciado dá uma fenda estreita de largura \,5{,}0\\ \text{cm}\, por onde passam micro-ondas que incidem normalmente e pede a comprimento de onda \lambda das micro-ondas, sabendo que o primeiro mínimo de difração aparece em \theta=37^\circ.
Informações fornecidas:
  • Largura da fenda: a=5{,}0\\ \text{cm}.
  • Ângulo do primeiro mínimo: \theta=37^\circ.
O que é pedido:
  • Calcular o comprimento de onda \lambda das micro-ondas.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Quando ondas passam por uma fenda de largura comparável ao comprimento de onda ocorre difração. Para uma fenda simples e estreita (modelo da fenda única), os mínimos de intensidade (os ângulos onde a luz praticamente some) satisfazem a condição
a\,\sin\theta = m\,\lambda,
onde:
  • a é a largura da fenda (distância física da abertura),
  • \theta é o ângulo medido a partir da direção incidente (ângulo do mínimo observado),
  • \lambda é o comprimento de onda da onda incidente,
  • m é um inteiro não nulo ( m=\pm1,\pm2,\ldots) que indica a ordem do mínimo.
Breve intuição: pense que a fenda se comporta como muitos emissores ao longo de sua largura; para determinados ângulos a diferença de caminho entre partes superior e inferior da fenda é um múltiplo de \lambda, levando a interferência destrutiva e, assim, a um mínimo. A condição acima é a forma compacta dessa ideia.

Passo 3

Identificar qual é m para o “primeiro mínimo”:
  • O “primeiro mínimo” corresponde a m=1 (o menor inteiro positivo que produz um mínimo fora do centro).
Portanto usaremos na fórmula
a\,\sin\theta = 1\cdot\lambda \quad\Longrightarrow\quad \lambda = a\,\sin\theta.

Passo 4

Converter a largura para unidades do SI e substituir os valores:
  • A fenda tem a=5{,}0\\ \text{cm}. Em metros isso é
a=5{,}0\\ \text{cm}=0{,}050\\ \text{m}.
  • O ângulo é \theta=37^\circ.
Agora substituímos:
\lambda = a\,\sin\theta = 0{,}050\\ \text{m}\times\sin(37^\circ).

Passo 5

Calcular numericamente \sin(37^\circ) e o produto (explicando cada passo):
  • Valor trigonométrico aproximado:
\sin(37^\circ)\approx0{,}6018.
  • Multiplicando:
\lambda \approx 0{,}050\times0{,}6018 = 0{,}03009\\ \text{m}.
  • Em centímetros:
0{,}03009\\ \text{m} = 3{,}009\\ \text{cm}.
  • Arredondando de acordo com as cifras significativas dados ( a=5{,}0\\ \text{cm} tem duas cifras significativas), apresentamos \lambda com duas cifras significativas:
\lambda \approx 3{,}0\\ \text{cm} = 3{,}0\times10^{-2}\\ \text{m}.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo:
O resultado está numa escala típica de micro-ondas (alguns centímetros), então faz sentido fisicamente. Mandou bem por procurar a relação de mínimos da fenda única — essa é a chave para quase todas as questões desse tipo. Vai com confiança na prova!

Resposta

\lambda = 3{,}0\times10^{-2}\\ \text{m} (ou \,3{,}0\\ \text{cm}\,)

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